Teorema lui Thales

Teorema lui Thales ne ajuta sa aflam lungimea unor segmente intr-un triunghi daca stim ca o dreapta este paralela cu o alta dreapta in triunghi si stim anumite lungimi de segmente.

Teorema. O paralela dusa la una dintre laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente omoloage proportionale.
cum aplicam Teorema lui Thales
Fie triunghiul ABC, cu DE||BC
Atunci \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Atentie!  Aplicam Teorema lui Thales doar daca se verifica ipotezele teoremei, adica trebuie sa avem o paralela intr-un triunghi.
Aplicatii:

Intr-un triunghi dreptunghic ABC, cu m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, m\left(\widehat{C}\right)=30^{0} se iau punctele D\in(AC) si F\in(BC) astfel incat EF||AB si \frac{AE}{AC}=\frac{3}{8}. Daca EF=10 cm, calculati:
a) FC
b) BC
c) AB

Demonstratie :
Teorema lui Thales
Observam ca EF||AB cu Criteriile de paralelism ca BC este secanta si astfel obtinem ca m\left(\widehat{CFE}\right)=m\left(\widehat{CBA}\right)=60^{0} (ca unghiuri corespondente), dar si
m\left(\widehat{CEF}\right)=m\left(\widehat{CAB}\right)=90^{0} (ca unghiuri corespondente)
Astfel obtinem ca triunghiul EFC este dreptunghic in E si putem sa aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, adica
EF=\frac{FC}{2}\Rightarrow 10=\frac{FC}{2}\Rightarrow FC=2\cdot 10=20\;\; cm
Deci obtinem ca FC=20 cm.

Acum ca sa aflam BC, stim din ipoteza ca EF||BC, deci putem sa aplicam Teorema lui Thales, si obtinem
\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow
\frac{3}{8}=\frac{BC-FC}{BC}\Rightarrow
\frac{3}{8}=\frac{BC-20}{BC}\Rightarrow
3\cdot BC=8\cdot\left(BC-20\right)\Rightarrow
3BC=8BC-8\cdot 20\Rightarrow 3BC-8BC=-160\Rightarrow
-5BC=-160\Rightarrow BC=\frac{-160}{-5}=32

Acum ca am aflat BC, in triunghiul ABC dreptunghic in A stim m\left(\widehat{ACB}\right)=30^{0} putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-{90}, adica
AB=\frac{BC}{2}=\frac{32}{2}=16 cm

Asadar este important in rezolvarea problemelor de geometrie sa folosim toate informatiile care ni le da ipoteza. Observati ca in cazul problemei de mai sus am mai folosit si criteriile de paralelism ce le-am invatat in clasa a VI-a.

Lasă un răspuns