Teorema celor trei perpendiculare. Reciproca.

Definim prima Teorema celor trei perpendiculare

Teorema: Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan \alpha si prin piciorul ei trece o dreapta a, continuta in plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta b continuta in plan, atunci o dreapta c care uneste orice punct M al dreptei d cu intersectia P a celor doua drepte a si b, este perpendiculara pe cea de-a treia latura.

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

d\perp\alpha    \\a\subset\alpha, O\in a

a\perp b, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in D

\Rightarrow MP\perp b

 Reciprocele teoremei  celor trei perpendiculare

R.T.3\perp 1

Cum aplicam prima reciproca a celor trei perpendiculare

 

d\perp \alpha, d\cap\alpha=\left\{O\right\}    a\subset\alpha, O\in a, b\subset\alpha , a\cap b=\left\{P\right\},    M\in d, MP\perp b\Rightarrow a\perp b

R.T.3\perp 2

Cum aplicam Reciproca a doua a celor trei perpendiculare

d\perp a, d\cap a=\left\{O\right\}, a\subset\alpha

a\perp b, a, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in dMP\perp b\Rightarrow d\perp \alpha

Rezolvam probleme in care aplicam teorema celor trei perpendiculare !

1) Fie VABC o piramida triunghiulara regulata cu inaltimea VO= 8cm si apotema VM=10 cm. Calculati distanta de la O la planul unei fete.
Demonstratie:
distanta de la un punct la un plan
Astfel calculam distanta de la O la planul fetei VBC

Construim mai intai ON\perp VM, unde observam ca n\in (VM)

Cum M este mijlocul lui BC si N=pr_{VM}O

Astfel avem ca ON\perp VM, VM\perp BC,OM\perp BC, ON\subset\left(VOM\right) si VM\subset\left(VBC\right) obtinem conform Reciprocei a doua a celor trei perpendiculare ca ON\perp (VBC)

Astfel ca d\left(O,(VBC)\right)=ON

Cum Triunghiul VOM este dreptunghic in O, obtinem cu Teorema inaltimii ca ON=\frac{OM\cdot OV}{VM}

Stim ca OM este apotema bazei adica cu teorema lui Pitagora in triunghiul drptunghic VOM obtinem OM^{2}=VM^{2}-VO^{2}\Rightarrow OM^{2}=10^{2}-8^{2}\Rightarrow OM^{2}=100-64\Rightarrow OM=\sqrt{36}=6 cm
distanta de la un punct la un plan
2. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu latura de 12 cm.

Calculati:

a) d(A,BD')

b) m\left(\widehat{AB', (BDD')}\right)

Demonstratie:

…………………………….


Acest articol este doar o mica parte din acest curs online de pregatire matematica.

Lasă un răspuns