Multimi de numere. Forme de scriere a unui numar

Pana acum am invatat mai multe multimi de numere, astfel avem:

Multimea numerelor naturale, notata cu N, unde N=\left\{0,1, 2,...,n,...\right\}

Observatii: N^{*}=\left\{1, 2, 3, 4, ...., n,...\right\}

Unde N^{*} este multimea numerelor naturale fara elementul 0 si N^{*}\subset N.

Multimea numerelor intregi, notata cu Z

Z=\left\{...; -n;...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...; n; ...\right\}

La fel ca si la multimea numerelor naturale avem si in cazul numerelor intregi: Z^{*}=Z-\left\{0\right\}, in plus, mai definim Z_{-}=\left\{...; -n;...;-3; -2; -1\right\} dar si Z_{+}=\left\{1; 2; 3; 4;...; n;...\right\}

Cu n\in N^{*}, avem ca si mai sus Z^{*}\subset Z si in plus N\subset Z

Astfel Z=Z_{-}\cup\left\{0\right\}\cup Z_{+}

Multimea numerelor rationale, notata Q este Q=\left\{\frac{a}{b}|a, b\in Z, b\neq 0\right\}

Astfel avem ca Z\subset Q, daqr si Q^{*}=Q-\left\{0\right\}

Astfel avem incluziunea N\subset Z\subset Q

Multimea numerelor irationale, notata cu R-Q este multimea numerelor care se scriu zecimal cu o infinitate de zecimale, care nu se repeta periodic (de obicei in cazul nostru radicali care nu sunt patrate perfecte.

Exemplu :\sqrt{2}, \sqrt{3}).

Multimea numerelor reale, notata cu R este multimea formata din multimea numerelor rationale cu multimea numerelor irationale, la fel ca si mai sus R^{*}=R-\left\{0\right\}

Astfel avem sirul N\subset Z\subset Q\subset R

Aplicatii:
1) Aratati ca \sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}\in Q

Deci trebuie sa aratam ca radicalul de mai sus este un numar rational, astfel avem:

\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{13-4\sqrt{3}}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{13-2\cdot 2\sqrt{3}}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{\left(1+2\sqrt{3}\right)^{2}}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\left(1+2\sqrt{3}\right)}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-1-2\sqrt{3}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+|1-\sqrt{3}|}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}=\sqrt{2-0-1}=\sqrt{1}=1\in Q

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, observati ca am folosit urmatoarea regula: \sqrt{a^{2}}=|a|.

Adica pe fiecare  radical am incercat sa-l restrangem cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat.

2) Determinati valoarea de adevar a propozitiilor:

a) \sqrt{x}\in R

b) \sqrt{x}\in Z

c) \sqrt{x}\in R-Q

d) \sqrt{x\in N}

Unde x=\sqrt{243^{2}-\left(240^{2}+3\cdot 240\right)}

Solutie:

Mai intai calculam x, adica il aducem la o forma mai simpla. Astfel avem x=\sqrt{243^{2}-\left[240\left(240^+3\right)\right]}=\sqrt{243^{2}-240\cdot 243}=\sqrt{243\left(243-240\right)}=\sqrt{243\cdot 3}=\sqrt{729}=27

Astfel stim ca x=27, dar noi avem sa calculam \sqrt{x}=\sqrt{27}=\sqrt{3^{2}\cdot 3}=3\sqrt{3}

Asadar :

a) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\in R este adevarata.

b) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\notin Q, deci afirmatia este falsa.

c) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\in R-Q, deci afirmatia este adevarata.

d) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\notin Z, deci afirmatia este falsa. Numarul nu este intreg.