Ridicarea la putere cu exponent natural a unui numar natural. Reguli de calcul cu puteri

Reguli de calcul cu puteri

Pana acum am invatat cum sa adunam, cum sa scadem, cum sa inmultim si cum sa impartim doua sau mai multe numere naturale. Astazi o sa invatam ridicarea la putere cu exponent natural a unui numar natural, adica reguli de calcul cu puteri.

Incepem printr-un exemplu. Astfel, daca avem sa calculam:  2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32

Asta stim inca din clasele mai mici. Dar acum invatam ca inmultirea lui 2 cu el insusi de mai multe ori putem sa scriem in felul urmator 2^{5}=32

Operatia prin care se obtine puterea unui numar natural se numeste ridicarea la putere.Astfel a^{m}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{m\;\; ori} unde a se numeste baza si m este exponentul.

Foarte important ! Trebuie sa invatati regulile urmatoare ca sa putem rezolva exercitiile de acest gen:

Reguli de calcul cu puteri:

1) a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} (Cand avem aceeasi baza copiem baza si adunam exponentii)

2) a^{m}:a^{n}=a^{m-n} (Cand avem aceeasi baza copiem baza si scadem exponentii cu m\geq n)

3) \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n} (se inmultesc exponentii intre ei)

4) \left(a\cdot b\right)^{m}=a^{m}\cdot b^{n} (cand nu avem aceeasi baza, dar avem acelasi exponent, copiem exponentul si inmultim bazele)

5) \left(a:b\right)^{m}=a^{m}:b^{n} (cand nu avem aceeasi baza, dar avem acelasi exponent, copiem exponentul si impartim bazele)

6) a^{0}=1 (orice numar la puterea 0 este egal cu 1)

7) 1^{n}=1 (1 la orice putere este tot 1)

0^{0} nu are sens

Oricare ar fi numerele naturale a,b,m,n,a\neq 0.

Acum sa rezolvam exercitii de acest gen, ca sa vedem cum ne ajuta regulile de calcul cu puteri:

1) Calculati:
 2^{17}\cdot2^{21}=2^{17+21}=2^{38}

Am folosit prima regula din cele pe care le-am enuntat mai sus, adica am copiat baza celor doua numere, baza fiind 2 si am adunat exponentii 21+17.

Rezultatul a fost 2^{38}, care inseamna 2^{38}=\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot...\cdot 2}_{38\;\;ori}, dar nu trebuie sa calculam tot numarul, tocmai din acest motiv folosim regulile de calcul cu puteri.

b)  3^{108}:\left(3^{15}\right)^{6}=3^{108}:3^{15\cdot 6}=3^{108}:3^{90}=3^{108-90}=3^{18}

La exercitiul de mai sus in partea a doua am folosit formula 3, adica am copiat baza 3 si am inmultit exponentii, adica 15\cdot 6, iar apoi dupa ce am efectuat acest lucru am observat ca avem operatia de impartire si astfel am folosit regula a 2, adica copiem baza 3 si scadem exponentii.

Adica 108-90 si astfel obtinem rezultatul. Rezultatul obtinut, daca este la o putere foarte mare, nu trebuie sa-l calculam.

c)  \left(16\cdot12^{10}-4\cdot 12^{10}\right):12^{11}=\left[12^{10}\left(16-4\right)\right]:12^{11}=12^{10}\left(16-4\right):12^{11}=12^{10}\cdot 12:12^{11}=12^{10+1}:12^{11}=12^{11}:12^{11}=12^{0}=1

La exercitiul c) am dat factor comun pe  12^{10}. Stiti ce inseamna sa dam factor comun, adica observam ce este comun in ambele parti ale exercitiului iar acel lucru il scoatem in fata.

In cazul nostru  12^{10}, iar apoi am copiat ce ne-a ramas, am efectuat calculele din paranteza rotunda ( observam ca am mai introdus o paranteza, adica am transformat-o pe cea rotunda in dreapta, dat fiind faptul ca am dat factor comun), adica diferenta si am obtinut rezultatul 12.

Apoi am folosit prima regula de calcul, adica am copiat baza si am adunat exponentii. Dupa ce am efectuat acest lucru am folosit a doua regula de calcul, adica am copiat baza si am scazut exponentii .

Rezultatul obtinut a fost 12^{0}, iar conform regulii 6 obtinem 1. Trebuie sa tinem cont ca 0^{0}, nu are sens.

Este important  sa invatam aceste reguli de calcul cu puteri pentru numere naturale si sa stim ca 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8 si nu 6, cum majoritatea dintre voi gresit credeti.

d) 2^{3^{4}}=2^{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=2^{81}

Observati ca atunci cand avem puterea unei puteri, ridicam mai intai primul exponent la prima putere (adica in cazul nostru pe 3)

e) \left(2^{3}\right)^{4}=2^{3\cdot 4}=2^{12}

Observati diferenta intre cele doua calcule, in primul caz avem 2^{3^{4}} care este diferit de \left(2^{3}\right)^{4}, in cel de-al doilea caz am folosit regula 3) mai sus enuntata. In primul caz putem spune ca avem regula a^{m^{n}}=a^{\underbrace{m\cdot m\cdot m\cdot ...\cdot m}_{n\;\;ori}}

O părere la “Ridicarea la putere cu exponent natural a unui numar natural. Reguli de calcul cu puteri

  1. Pingback: Maillot Liverpool

Lasă un răspuns