Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Inca din gimnaziu am invatat sa calculam triunghiul dreptunghic.

Am invatat rezolvarea triunghiului dreptunghic cu Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii si Teorema catetei, dar si cu ajutorul notiunilor trigometrice, adica functiile trigonometrice (sinus, cosinus, tangenta si cotangenta).

Problema:

1) Fie triunghiul ABC, in care se cunosc AB=AC=26 cm si BC=20 cm.

Calculati \sin B, \cos B\tan B.

Demonstratie:
Cum si cand aplicam functiile trigonometrice
Stim ca triunghiul ABC este isoscel dar mai stim si ca functiile trigonometrice le putem aplica in triunghiul dreptunghic. Astfel ducem inaltimea AD, deci avem AD\perp BC.

Acum, ca sa putem afla sin trebuie sa stim AD, astfel in triunghiul ADB aplicam teorema lui Pitagora AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=26^{2}-10^{2}\Rightarrow AD^{2}=676-100\Rightarrow AD=\sqrt{576}\Rightarrow AD= 24 cm.

Astfel acum aplicam: \sin B=\frac{cat.opusa}{ipotenuza}=\frac{AD}{AB}=\frac{24}{26}^{(2}=\frac{12}{13}
\cos B=\frac{cat.alaturata}{ipotenuza}=\frac{BD}{AB}=\frac{10}{26}^{(2}=\frac{5}{13}.

Deoarece conform proprietatii de la triunghiul isoscel, mediana, mediatoarea, bisecoarea si inaltimea corespunzatoare bazei coincid, AD este si mediana, de unde gasim ca BD=DC=10 cm.

\tan B=\frac{cat.opusa}{cat. alaturata}=\frac{AD}{BD}=\frac{24}{10}^{(2}=\frac{12}{5}.

2) Fie triunghiul ABC in care AB=6 cm si AC=12 cm. Calculati lungimea laturii BC, daca m\left(\prec A\right)=30^{0}.
Cum rezolvam triunghiul oaarecare
Observam ca triunghiul ABC este oarecare, stim unghiul A, care este de 30 de grade, astfel construim perpendiculara BD, adica inaltimea si obtinem astfel triunghiul dreptunghic ADB, unde unghiul D este de 90^{0} si astfel gasim ca unghiul ABD este de 60^{0}.

Astfel ca sa aflam BD aplicam \sin A=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \sin 30^{0}=\frac{BD}{6}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{BD}{6}\Rightarrow BD=3 cm.

Astfel, dupa ce am aflat BD, putem sa aflam si DA, daca aplicam
\cos B=\frac{cat.alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow

\cos 30^{0}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow

\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{6}\Rightarrow

AD=\frac{6\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AD=3\sqrt{3} cm.

Cum stim AD putem afla DC, astfel DC=AC-AD\Rightarrow DC=12-3\sqrt{3};

Acum, stim ca triunghiul ADC este dreptunghic in D si astfel putem aplica teorema lui Pitagora :

BC^{2}=AD^{2}+DC^{2}\Rightarrow BC^{2}=3^{2}+\left(12-3\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow BC^{2}=9+144-2\cdot 12\cdot 3\sqrt{3}+27\Rightarrow BC^{2}=153-72\sqrt{3}+27\Rightarrow BC=\sqrt{180-72\sqrt{3}}\Rightarrow BC=\sqrt{36\left(5-2\sqrt{3}\right)}\Rightarrow BC=6\sqrt{5-2\sqrt{3}}.

Lasă un răspuns