Probleme rezolvate. Congruenta triunghiurilor

Prezentam doua probleme cu ajutorul carora o sa ne reamintim notiunile pe care le-am invatat in clasa a 6-a.

Astfel, vom incepe cu o problema in care trebuie sa demonstram o egalitate intre segmente. Pentru aceasta vom folosi congruenta triunghiurilor.

Iar in cea de-a doua problema, la fel, trebuie sa demonstram o egalitate. Pentru aceasta vom folosi teorema Medianei, dar si Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, notiuni pe care le-am invatat in anul anterior.

Incepem prin a rezolva problema:

1) Fie triunghiul isoscel ABC, de baza BC, iar D\in \left(AB\right) si E\in\left(AC\right) astfel incat \left[BD\right]\equiv\left[CE\right]. Pe semidreptele [BE se ia un punct F astfel incat [AB]\equiv [AF], iar pe semidrepata [AF se ia punctul G astfel incat [AG]\equiv [AD]. Demonstrati ca BF=CD+CG.

Demonstratie:

problema rezolvata cu triunghiul dreptunghic
Astfel stim ca \left[AG\right]\equiv\left[AD\right](din ipoteza)

Dar stim si ca [AE]\equiv [AD] (deoarece triunghiu ABC isoscel si tot din ipoteza stim ca [BD]\equiv[CE]) deci [AE]\equiv [AD]si cu tranzitivitatea rezulta ca [AG]\equiv [AE]

Observam si ca \widehat{GAC}\equiv\widehat{FAC}

Stim din ipoteza ca [AB]\equiv [AF]

Dar cum triunghiul ABC isoscel stim si ca [AB]\equiv [AC]

Deci obtinem [AC]\equiv [AF]

Si astfel obtinem ca \Delta AGC\equiv\Delta AEF (cazul L.U.L)

Si astfel obtinem ca [GC]\equiv [EF]

Dupa cum am spus si mai sus, stim ca [AD]\equiv [AE]
[AB]\equiv[AC] (deoarece triunghiul ABC isoscel)

Dar si \widehat{DAC}\equiv\widehat{BAE}. Deci cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca \Delta ADC\equiv \Delta AEB si astfel obtinem ca [DC]\equiv [BE]

Observam din figura ca BF=BE+EF\Rightarrow BF=DC+CG

Deci am demonstrat ceea ce trebuia sa demonstram.

2) Fie triunghiul ABC dreptunghic in A si AD\perp BC, D\in \left(BC\right). Daca m\left(\widehat{C}\right)=15^{0}
aratati ca AD=\frac{BC}{4}

Demonstratie:
triunghiul dreptunghic

Fie M\in \left(BC\right), astfel incat [BM]\equiv[MC]

Astfel cu teorema Medianei obtinem ca AM=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{BC}{2}

Observam ca [AM]\equiv[BM], deci triunghiul ABM isoscel de baza AB, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, astfel m\left(\widehat{ABM}\right)=m\left(\widehat{BAM}\right)=75^{0}

Deci putem afla masura unghiului AMB
m\left(\widehat{MAB}\right)+m\left(\widehat{ABM}\right)+m\left(\widehat{BMA}\right)=180^{0}\Rightarrow 75^{0}+75^{0}+m\left(\widehat{BMA}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BMA}\right)=180^{0}-150^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BMA}\right)=30^{0}

Deci in triunghiul ADM, dreptunghic in D, putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel
AD=\frac{1}{2}\cdot AD=\frac{AM}{2}\rightarrow AM=2\cdot AD

Dar stim ca AM=\frac{BC}{2}

Deci obtinem \frac{BC}{2}=2\cdot AD\Rightarrow AD=\frac{BC}{2}

In concluzie, este important sa intelegem Congruenta triunghiurilor, dar si teoremele despre care am amintit mai sus, deoarece acestea constituie notiuni elementare pentru studiul din anul viitor.

NOTA! Articolul acesta este doar o mica parte din acest curs de pregatire, pe care il puteti incepe chiar azi.

Lasă un răspuns