Problema rezolvata. Unghiul diedru. Distanta de la un punct la un plan

Unghiul diedru Distanta de la un punct la un plan

Problema rezolvata unghiul diedru

Pe planul triunghiului ABC cu AB=13, AC=20 cm si BC=21 cm se ridica perpendiculara AM AM=4\sqrt{3} cm. Aflati:

a) distanta de la M la dreapta BC

b) distanta de la punctul M la planul \left(MBC\right)

c) masura unghiului diedru format de planele \left(MBC\right) si \left(ABC\right)

Demonstratie:

distanta de la un punct la un plan

Observam ca triunghiul ABC este oarecare si astfel construim perpendiculara AN, astfel avem AN\perp BC

Acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiurile ANB si ANC, pentru a afla AN

In triunghiul ANB obtinem: AN^{2}=AB^{2}-BN^{2}\Rightarrow AN^{2}=13^{2}-BN^{2}\Rightarrow AN^{2}=169-BN^{2}(*)

Acum aplicam in triunghiul ANC teorema lui Pitagora si obtinem: AN^{2}=AC^{2}-CN^{2}\Rightarrow AN^{2}=20^{2}-CN^{2}\Rightarrow AN^{2}=400-CN^{2}(**)

Egaland cele doua relatii obtinem: 169-BN^{2}=400-CN^{2}\Rightarrow 169-BN^{2}=400-\left(21-BN\right)^{2}\Rightarrow 169-BN^{2}=400-\left(441-2\cdot 21\cdot BN+BN^{2}\right)\Rightarrow 169-BN^{2}=400-441+42BN-BN^{2}\Rightarrow 169-BN^{2}=-41+42BN-BN^{2}\Rightarrow -BN^{2}-42BN+BN^{2}=-41-169\Rightarrow -42BN=-210\rightarrow BN=210:42\Rightarrow BN=5

Ca sa aflam BN  stim ca BC=BN+NC\Rightarrow NC=BC-BN\Rightarrow NC=21-BN

Dupa ce am aflat BN putem din (*) swa aflam AN
AN^{2}=169-25\Rightarrow AN=\sqrt{144}\Rightarrow AN=12 cm

Revenind la problema, stim ca : AM\perp\left(ABC\right)

Construim AN\perp BC  \\ AN, BC\subset\left(ABC\right)\Rightarrow MN\perp BC

Cu teorema celor trei perpendiculare am gasit d\left(M,BC\right)=MN

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MAN
MN^{2}=MA^{2}+AN^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(4\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow MN^{2}=48+144\Rightarrow MN=\sqrt{192}\Rightarrow MN=8\sqrt{3}

PROBLEMA-REZOLVATA-UNGHIUL-DIEDRU1

b) d\left(A,\left(MBC\right)\right)=AP

Fie AP\perp MN  \\ MN\subset\left(MBC\right)\Rightarrow AP\perp\left(MBC\right)

Stim ca daca o dreapta este perpendiculara pe o alta dreapta dintr-un plan, atunci dreapta este perpendiculara pe plan.

Stim ca triunghiul MAN dreptunghic in A, deci aplicam Teorema inaltimii:
AP=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{AM\cdot AN}{MN}=\frac{4\sqrt{3}\cdot 12}{8\sqrt{3}}=\frac{48\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}^{(8\sqrt{3}}=6 cm.
distanta de la un punct la un plan

c) m\left(\widehat{\left(MBC\right),\left(ABC\right)}\right)

Observam BC muchia comuna. Astfel avem AN\perp BC  \\AN, BC\subset\left(ABC\right)

Dar si ca MN\perp BC  \\MN, BC\subset\left(MBC\right) (din punctul a))

Astfel obtinem m\left(\widehat{\left(MBC\right),\left(ABC\right)}\right)=m\left(\widehat{AN,MN}\right)=m\left(\widehat{ANM}\right)=30^{0}

Cum triunghiul MAN e dreptunghic aplicam functiile trigonometrice
\sin \widehat{ANM}=\frac{cat.opusa}{ipotenuza}=\frac{AM}{MN}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}^{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=30^{0}
Cum aflam unghiul diedru a doua plane?

Atentieputem aplica functiile trigonometrice doar daca avem triunghi dreptunghic.

O părere la “Problema rezolvata. Unghiul diedru. Distanta de la un punct la un plan

  1. Pingback: rb leipzing shirt

Lasă un răspuns