Problema rezolvata. Simetricul unui punct fata de o dreapta

Sa vedem o problema rezolvata cu Simetricul unui punct fata de o dreapta.

1) Fie ABC in triunghi dreptunghic cu m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, si M simetricul punctului A fata de mijlocul ipotenuzei \left[BC\right]. Determinati ca ABMC e dreptunghi.

Demonstratie:

Simetricul unui punct fata de o dreapta

Notam cu O mijlocul ipotenuzei BC, astfel construim simetricul punctului A, fata de mijlocul ipotenuzei BC si formam patrulaterul ABMC, dar observam si ca:

BM||AC

AB||MC

Obtinem astfel ca ABMC este paralelogram.

Din simetricul punctului A fata de mijlocul ipotenuzei stim ca
AO=OM, dar mai stim si ca AO este mediana in triunghiul dreptunghic ABC si cu teorema Medianei gasim ca: AO=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2\cdot AO

Dar mai stim si ca O este mijlocul ipotenuzei BC, si astfel gasim
BO=OC

Dar si BO=OC=AO

Stim si ca AO=OM, astfel obtinem ca AO+OM=2AO=BC,deci gasim ca BC=AM

Mai gasim ca BO=OC=AO=OM.

Deci obtinem ca AM=BC.

Cum diagonalele sunt congruente, rezulta ca ABMC dreptunghi.

Lasă un răspuns