Problema rezolvata folosind proprietatile trapezului

Prezentam un articol in care rezolvam o problema folosind proprietatile trapezului, dar si ale triunghiului isoscel.

Fie O intersectia diagonalelor trapezului ABCD. Daca OD congruent cu OC, demonstrati ca:

a) AOB triunghi isoscel

b) trapezul ABCD este isoscel

c) mijloacele bazelor si punctul O sunt coliniare

Demonstratie:

 

cum aratam ca un triunghi este isoscel

Observam din ipoteza problemei ca [OC]\equiv[OD], deci obtinem ca triunghiul \Delta ODC este isoscel  de baza DC, deci obtinem si ca \widehat{BDC}\equiv\widehat{ACD}

Dar stim de la definita trapezului ca AB||DC si folosind unghiul determinat de o dreapta cu o secanta, obtinem ca: \widehat{ABD}\equiv\widehat{BDC} (ca unghiuri alterne interne)

Dar si \widehat{BAC}\equiv\widehat{ACD}

Dar de mai sus stim ca: \widehat{BDC}\equiv\widehat{ACD} deci obtinem si ca \widehat{ABD}\equiv\widehat{BAC} deci cu proprietatile triunghiului isoscel \Delta AOB isoscel de baza AB.

cum aratam ca un trapez este isoscel

a) Stim ca triunghiul AOB este isoscel, deci stim ca [AO]\equiv[BO]

Dar din ipoteza stim si ca triunghiul DOC este isoscel, adica [DO]\equiv[CO]

Dar observam ca \widehat{AOD}\equiv\widehat{BOC}(ca unghiuri opuse la varf)

Deci obtinem ca \Delta ADO\equiv\Delta BCO, de unde obtinem si ca [AD]\equiv[BC], adica laturile neparalele sunt congruente.

Si cu proprietatea de la trapezul isoscel obtinem ca :

-Daca intr-un trapez laturile neparalele sunt congruente, atunci trapezul este isoscel.

Stim ca [AD]\equiv[BC]\Rightarrow ABCD trapez isoscel

b) Fie M mijlocul segmentului AB, deci avem ca [AM]\equiv[MB]

Si N mijlocul segmentului DC si obtinem ca [DN]\equiv[NC]

Observam ca OM este mediana in triunghiul AOB, deci si inaltime si obtinem ca m\left(\widehat{AMO}\right)=90^{0}

Dar si ca triunghiul DOC isoscel so ON mediana, deci in inaltime si astfel obtinem ca  m\left(\widehat{DNO}\right)=90^{0}

Observam ca OM si ON perechi de semidrepte opuse deci m\left(\widehat{MON}\right)=180^{0}

De unde rezulta ca punctele M, O, N sunt coliniare.

c) Puneti-va si voi mintea la contributie si rezolvati. Este foarte usor punctul acesta. 🙂

O părere la “Problema rezolvata folosind proprietatile trapezului

  1. Pingback: manchester city

Lasă un răspuns