Patrulaterul convex si patrulaterul concav

Inainte  sa definim notiunea de paralelogram, definim notiunea de patrulater.

Fiind date patru puncte distincte A, B, C, D, astfel incat:

– oricare trei necoliniare

AB\cap CD=\Phi, BC\cap AD=\Phi numim patrulater de varfurile A, B, C, D figura geometrica formata din reuniunea [AB]\cup[BC]\cup[CD]\cup[DA].

Notatie: ABCD.

Definitie: Un patrulater se numeste convex daca oricare doua puncte aflate in interiorul sau segmentul care le uneste este inclus in interiorul sau.
cum arata un patrulater convex

Definitie: Un patrulater se numeste concav, daca exista doua puncte in interiorul sau astfel incat segmentul care le uneste nu este inclus in interiorul sau.
cum arata un patrulater concav
Proprietatea unghiurilor intr-un patrulater convex.

Intr-un patrulater convex suma masurii unghiurilor este egala cu 360^{0}.

Aplicatii:

1) Patrulaterul convex MNPQ are perimetrul egal cu 120 cm. Triunghiul MNP are perimetrul de 82 cm. Stiind ca diagonala MP=24 cm, aflati perimetrul triunghiului MQP.

Demonstratie:
cum aflam perimetrul unui patrulater convex
Stim ca: P_{MNPQ}=120\Leftrightarrow MN+NP+PQ+QM=120\;\;cm

Mai stim si ca: P_{MNP}=82\Leftrightarrow MN+NP+PM=84\;\;cm

Dar mai stim si ca MP=24 cm, deci gasim cu relatia de mai sus ca: MN+NP+MP=84\Rightarrow MN+NP+24=84\Rightarrow MN+NP=84-24\Rightarrow MN+NP=60\;\; cm

Dar din perimetrul patrulaterului stim ca: MN+NP+PQ+QM=120\Rightarrow 60+PQ+QM=120\Rightarrow PQ+QM=120-60\Rightarrow PQ+QM=60\;\;cm\Rightarrow

Noi trebuie sa aflam perimetrul triunghiului P_{MQP}=MP+PQ+QM

Dar  stim ca PQ+QM=60 cm si din ipoteza stim ca MP=24 cm, astfel avem ca: P_{MQP}=24+60=84\;\; cm

2) In patrulaterul convex ABCD se dau: m\left(\widehat{BAD}\right)=110^{0}, m\left(\widehat{ABC}\right)=110^{0}, m\left(\widehat{ADB}\right)=29^{0},m\left(\widehat{BDC}\right)=56^{0}.

Caculati masurile unghiurilor: \widehat{DBC}, \widehat{ABD},\widehat{ADC},\widehat{C}

Demonstratie:
cum aflam masura unghiurilor intr-un patrulater convex
Observam ca in triunghiul ADB stim doua unghiuri si astfel putem sa-l aflam pe cel de-al treilea. Deoarece suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de 180 grade, astfel avem ca: m\left(\widehat{BAD}\right)+m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}\Rightarrow 110^{0}+29^{0}+m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}\Rightarrow 130^{0}+m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}-139^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ABD}\right)=41^{0}

Acum sa aflam masura unghiului DBC, astfel stim ca: m\left(\widehat{ABC}\right)=110^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ABD}\right)+m\left(\widehat{DBC}\right)=110^{0}\Rightarrow 41^{0}+m\left(\widehat{DBC}\right)=110^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DBC}\right)=110^{0}-41^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DBC}\right)=69^{0}

Acum ca sa aflam masura unghiului ADC, stim ca: m\left(\widehat{ADC}\right)=m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{BDC}\right)=29^{0}+56^{0}=85^{0}

Sa aflam masura unghiului .

Stim conform proprietatii de mai sus enuntate ca Suma masurii unghiurilor intr-un patrulater convex este de 360^{0}

Astfel avem ca: m\left(\widehat{BAD}\right)+m\left(\widehat{ADC}\right)+m\left(\widehat{DCB}\right)+m\left(\widehat{CBA}\right)=360^{0}\Rightarrow 110^{0}+85^{0}+m\left(\widehat{DCB}\right)+110^{0}=360^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DCB}\right)=360^{0}-305^{0}\Rightarrow  m\left(\widehat{DCB}\right)=55^{0}

Lasă un răspuns