Dreapta perpendiculara pe un plan. Distanta de la un punct la un plan

Dreapta perpendiculara pe un plan joaca un rol esential  pentru notiunile care vor fi introduse in acest an la geometrie.

Cu ajutorul dreptei perpendiculare pe un plan introducem si distanta de la un punct la un plan.

Astfel incepem prin a ne reamiti definitia a doua drepte perpendiculare in spatiu.

Doua drepte in spatiu (concurente sau necoplanare) sunt perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}

Definitie: Numim dreapta perpendiculara d pe un plan \alpha o dreapa d care este perpendiculara pe orice dreapta din plan, de exemplu a.

d\perp\alpha\Leftrightarrow d\perp a, \forall a\subset\alpha

Conditia ca o dreapta sa fie perpendiculara pe un plan.

Teorema: Daca o dreapta este perpendiculara pe doua drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculara pe plan.

Stim ca: d\perp a

Dar si d\perp b

Unde a,b\subset\alpha

a\cap b=\left\{O\right\}\Rightarrow

De unde obtinem ca: d\perp\alpha

dreapta perpendiculara pe un plan
Dar acum sa vedem cum calculam distanta de la un punct la un plan.

Definitie: Se numeste distanta de la un punct la un plan, lungimea segmentului care uneste punctul cu piciorul perpendicularei duse din acel punctul pe plan.
cum calculam distanta de la un punct la un plan
Lungimea segmentului de la un punct la un plan este cel mai scurt segment dintre toate segmentele care uneste punctul A cu punctele din planul \alpha
AP\perp\alpha\Leftrightarrow d\left(A,\alpha\right)=AP

Fiind data o piramida, distanta de la varful piramidei la planul bazei se numeste inaltimea piramidei.

Fiind dat un tetraedru, distanta de la un varf al tetraedrului la o fata opusa se numeste inaltimea tetraedrului.

Aplicatii: 

1. Se considera prisma triunghiulara ABCA’B’C’ cu muchia bazei AB=10 cm. Calculati distanta de la punctul C la planul (ABB’)

Demonstratie:

cum calculam distanta de la un punct la un plan

Observam ca triunghiul ABC este echilateral, deci stim ca CD\perp AB

Dar observam de asemenea ca AB\subset\left(ABB'\right)  si cu definitia dreptei perpendiculare pe un plan obtinem ca CD\perp\left(ABB'\right)

Deci obtinem ca: CD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\;\; cm

Obtinem ca d\left(C,\left(ABB'\right)\right)=CD=5\sqrt{3}\;\; cm

2. Fie dreptunghiul ABCD cu AB=8 cm  si BC=6 cm si un punct E, astfel incat EA\perp\left(ABC\right). Determinati:

a) d(E,(ABC))

b) d\left(C, (EAB)\right)

c) d\left(B,(EAD)\right)

Demonstratie:

Mai intai construim dreptunghiul ABCD, astfel avem:

reapta perpendiculata pe un plan

Dar la punctul a) Avem sa calculam distanta de la punctul A la planul (ABC), astfel obtinem:

dreapta perpendiculara pe un plan

Observam ca EA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow EA\perp AB

Cum stim ca EA\perp AB, gasim ca distnanta de la punctul E la planul ABC este lungimea segmentului EA=6 cm

Dupa cum stim si din informatiile de mai sus, distanta de la un punct la un plan este segmentul cu cea mai scurta lungime.

b) d\left(C, (EAB)\right)=?

dreapta perpendiculara pe un plan

 

Triunghiul ABC este dreptunghic in B. Astfel observam ca CB\perp AB

Dar AB\subset\left(EAB\right)

Deci obtinem ca CB\perp\left(EAB\right)

Si astfel avem ca d\left(C,(EAB)\right)=CB=6\;\; cm

c) \left(B,(EAD)\right)=?

Stim ca EA\perp (ABC), deci avem ca EA\perp AB dar si ca BA\perp EA

Fie CE\perp AB

Dar stim si ca BA\perp AD, deoarece ABCD este dreptunghi, de unde gasim si ca d\left(B,(EAD)\right)=BA=AB=8 cm

3. Fie tetraedrul ABCD astfel incat AB=BC=4 cm, BD=2 cm, AC=4\sqrt{2}\;\; cm si AD=2\sqrt{5}\;\; cm. Demonstrati ca AB\perp\left(BCD\right).

Demonstratie:

dreapta perpendiculara pe un plan
In triunghiul ABC, observam ca AB=BC=4 cm, deci triunghiul ABC este isoscel de baza AB, dar mai observam si ca AC=4\sqrt{2}

Si daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow 32=16+16

Deci triunghiul ABC este dreptunghic in B, adica AB\perp BC.

Iar in triunghiul ABD, observam ca AB=4 cm si BD=2 cm, iar AD=2\sqrt{5}

Iar la fel, daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem: AB^{2}+BD^{2}=AD^{2}

Ca si triunghiul ABD este dreptunghic in D, adica AB\perp BD. Dar stim ca: AB\perp BC

De unde obtinem ca AB\perp\left(BCD\right)

Lasă un răspuns