Teorema celor trei perpendiculare

Teorema celor trei perpediculare joaca un rol important in demonstrarea unor egalitati de segmente, dar mai ales in aflarea lungimilor unor segmente.

Asadar ,Teorema celor trei perpendiculare o sa ne ajute mult in acest an pentru a afla mai usor lungimea unor laturi. Dar pana sa ajungem acolo trebuie sa o intelegem pentru a o aplica.

Incepem prin a da enuntul teoremei

Daca o dreapta este perpendiculara pe un plan si prin piciorul acesteia trece o dreapta continuta in  plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta din plan, atunci orice dreapta care uneste un punct al perpendicularei pe plan cu punctul de  intersectie a celor doua perpendiculare continute in plan, este perpendiculara pe a doua dreapta din plan.

 

cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

Avem d\perp \alpha

Dar mai stim si ca \\g\perp f

Mai mult \\g,f\subset \alpha

Obtinem ca: \\c\perp f unde \left\{P\right\}=d\cap g

\left\{A\right\}=f\cap g

M\in d si c=AM

Aplicatie la Teorema celor trei perpendiculare:

1. Fie ABCA’B’C’ o prisma triunghiulara regulata avand latura bazei AB= 6 cm si AA'=3\;\; cm.

a) distanta de la A’  latura BC

b) distanta de la punctul C’ la dreapta AD, daca D este mijlocul lui [BC]

Demonstratie:

Teorema celor trei perpendiculare

Observam ca AA^{'}\perp\left(ABC\right)

Dar AD\perp BC AD, BC\subset\left(ABC\right)

Cu Teorema celor trei perpendiculare rezulta ca A^{'}D\perp BC

Deci distanta de la punctul A’ la dreapta BC este A’D, unde D\in BC

Observam ca triunghiul AA’D este dreptunghic in A, deci putem aplica Teorema lui Pitagora, dar mai intai aflam AD.

Stim ca o prisma triunghiular regulata are baza triunghi echilateral si mai stim si ca AD este si mediana si inaltime in triunghiul echilateral ABC, deci obtinem AD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}^{(2}=3\sqrt{3}\;\;\; cm.

Deci, in triunghiul ABC aplicam teorema lui Pitagora A^{'}D^{2}=A^{'}A^{2}+AD^{2}\Rightarrow A^{'}D^{2}=3^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}=9+9\cdot 3=9+27\Rightarrow A^{'}D^{2}=36\Rightarrow A^{'}D=\sqrt{36}=6\;\; cm

Deci am aflat ca distanta de la A’ la BC este lungimea segmentului A’D=6 cm.

b)  Acum sa vedem cum aflam distanta de la C’ la dreapta AD

Aplicatii Teorema celor trei perpendiculare

Stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei de la punctul respectiv la dreapta dar si ca distanta de la un punct la o dreapta este cea mai scurta distanta.

 

Stim din ipoteza ca CC'\perp\left(ABC\right)\Rightarrow CC'\perp\left(ADC\right)

Observam ca CD\perp AD, deoarece AD este inaltime in triunghiul echilateral ABC

Dar si ca CD, AD\subset \left(ADC\right)

Iar cu Teorema celor trei perpendiculare avem ca C'D\perp AD

Asadar in triunghiul CC’D aplicam Teorema lui Pitagora.

Dar mai intai aflam CD=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\;\; cm, deoarece D este mijlocul segmentului [BC].

C'D^{2}=CC'^{2}+CD^{2}\Rightarrow C'D^{2}=3^{2}+3^{2}\Rightarrow C'D^{2}=9+9\Rightarrow C'D=\sqrt{18}\Rightarrow C'D=3\sqrt{2}

Asadar este esential sa stim Teorema celor trei perpendiculare dar sa o si aplicam, deoarece ne ajuta in rezolvarea problemelor, in aflarea diferitelor distante dintre un punct si o dreapta, dintre un punct si un plan, dintre doua plane.

Teorema lui Thales

Teorema lui Thales ne ajuta sa aflam lungimea unor segmente intr-un triunghi daca stim ca o dreapta este paralela cu o alta dreapta in triunghi si stim anumite lungimi de segmente.

Teorema. O paralela dusa la una dintre laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente omoloage proportionale.
cum aplicam Teorema lui Thales
Fie triunghiul ABC, cu DE||BC
Atunci \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Atentie!  Aplicam Teorema lui Thales doar daca se verifica ipotezele teoremei, adica trebuie sa avem o paralela intr-un triunghi.
Aplicatii:

Intr-un triunghi dreptunghic ABC, cu m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, m\left(\widehat{C}\right)=30^{0} se iau punctele D\in(AC) si F\in(BC) astfel incat EF||AB si \frac{AE}{AC}=\frac{3}{8}. Daca EF=10 cm, calculati:
a) FC
b) BC
c) AB

Demonstratie :
Teorema lui Thales
Observam ca EF||AB cu Criteriile de paralelism ca BC este secanta si astfel obtinem ca m\left(\widehat{CFE}\right)=m\left(\widehat{CBA}\right)=60^{0} (ca unghiuri corespondente), dar si
m\left(\widehat{CEF}\right)=m\left(\widehat{CAB}\right)=90^{0} (ca unghiuri corespondente)
Astfel obtinem ca triunghiul EFC este dreptunghic in E si putem sa aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, adica
EF=\frac{FC}{2}\Rightarrow 10=\frac{FC}{2}\Rightarrow FC=2\cdot 10=20\;\; cm
Deci obtinem ca FC=20 cm.

Acum ca sa aflam BC, stim din ipoteza ca EF||BC, deci putem sa aplicam Teorema lui Thales, si obtinem
\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow
\frac{3}{8}=\frac{BC-FC}{BC}\Rightarrow
\frac{3}{8}=\frac{BC-20}{BC}\Rightarrow
3\cdot BC=8\cdot\left(BC-20\right)\Rightarrow
3BC=8BC-8\cdot 20\Rightarrow 3BC-8BC=-160\Rightarrow
-5BC=-160\Rightarrow BC=\frac{-160}{-5}=32

Acum ca am aflat BC, in triunghiul ABC dreptunghic in A stim m\left(\widehat{ACB}\right)=30^{0} putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-{90}, adica
AB=\frac{BC}{2}=\frac{32}{2}=16 cm

Asadar este important in rezolvarea problemelor de geometrie sa folosim toate informatiile care ni le da ipoteza. Observati ca in cazul problemei de mai sus am mai folosit si criteriile de paralelism ce le-am invatat in clasa a VI-a.