Multimi de numere. Forme de scriere a unui numar

Pana acum am invatat mai multe multimi de numere, astfel avem:

Multimea numerelor naturale, notata cu N, unde N=\left\{0,1, 2,...,n,...\right\}

Observatii: N^{*}=\left\{1, 2, 3, 4, ...., n,...\right\}

Unde N^{*} este multimea numerelor naturale fara elementul 0 si N^{*}\subset N.

Multimea numerelor intregi, notata cu Z

Z=\left\{...; -n;...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...; n; ...\right\}

La fel ca si la multimea numerelor naturale avem si in cazul numerelor intregi: Z^{*}=Z-\left\{0\right\}, in plus, mai definim Z_{-}=\left\{...; -n;...;-3; -2; -1\right\} dar si Z_{+}=\left\{1; 2; 3; 4;...; n;...\right\}

Cu n\in N^{*}, avem ca si mai sus Z^{*}\subset Z si in plus N\subset Z

Astfel Z=Z_{-}\cup\left\{0\right\}\cup Z_{+}

Multimea numerelor rationale, notata Q este Q=\left\{\frac{a}{b}|a, b\in Z, b\neq 0\right\}

Astfel avem ca Z\subset Q, daqr si Q^{*}=Q-\left\{0\right\}

Astfel avem incluziunea N\subset Z\subset Q

Multimea numerelor irationale, notata cu R-Q este multimea numerelor care se scriu zecimal cu o infinitate de zecimale, care nu se repeta periodic (de obicei in cazul nostru radicali care nu sunt patrate perfecte.

Exemplu :\sqrt{2}, \sqrt{3}).

Multimea numerelor reale, notata cu R este multimea formata din multimea numerelor rationale cu multimea numerelor irationale, la fel ca si mai sus R^{*}=R-\left\{0\right\}

Astfel avem sirul N\subset Z\subset Q\subset R

Aplicatii:
1) Aratati ca \sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}\in Q

Deci trebuie sa aratam ca radicalul de mai sus este un numar rational, astfel avem:

\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{13-4\sqrt{3}}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{13-2\cdot 2\sqrt{3}}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{\left(1+2\sqrt{3}\right)^{2}}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\left(1+2\sqrt{3}\right)}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-1-2\sqrt{3}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+|1-\sqrt{3}|}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}=\sqrt{2-0-1}=\sqrt{1}=1\in Q

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, observati ca am folosit urmatoarea regula: \sqrt{a^{2}}=|a|.

Adica pe fiecare  radical am incercat sa-l restrangem cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat.

2) Determinati valoarea de adevar a propozitiilor:

a) \sqrt{x}\in R

b) \sqrt{x}\in Z

c) \sqrt{x}\in R-Q

d) \sqrt{x\in N}

Unde x=\sqrt{243^{2}-\left(240^{2}+3\cdot 240\right)}

Solutie:

Mai intai calculam x, adica il aducem la o forma mai simpla. Astfel avem x=\sqrt{243^{2}-\left[240\left(240^+3\right)\right]}=\sqrt{243^{2}-240\cdot 243}=\sqrt{243\left(243-240\right)}=\sqrt{243\cdot 3}=\sqrt{729}=27

Astfel stim ca x=27, dar noi avem sa calculam \sqrt{x}=\sqrt{27}=\sqrt{3^{2}\cdot 3}=3\sqrt{3}

Asadar :

a) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\in R este adevarata.

b) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\notin Q, deci afirmatia este falsa.

c) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\in R-Q, deci afirmatia este adevarata.

d) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\notin Z, deci afirmatia este falsa. Numarul nu este intreg.

Dreapta perpendiculara pe un plan. Distanta de la un punct la un plan

Dreapta perpendiculara pe un plan joaca un rol esential  pentru notiunile care vor fi introduse in acest an la geometrie.

Cu ajutorul dreptei perpendiculare pe un plan introducem si distanta de la un punct la un plan.

Astfel incepem prin a ne reamiti definitia a doua drepte perpendiculare in spatiu.

Doua drepte in spatiu (concurente sau necoplanare) sunt perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}

Definitie: Numim dreapta perpendiculara d pe un plan \alpha o dreapa d care este perpendiculara pe orice dreapta din plan, de exemplu a.

d\perp\alpha\Leftrightarrow d\perp a, \forall a\subset\alpha

Conditia ca o dreapta sa fie perpendiculara pe un plan.

Teorema: Daca o dreapta este perpendiculara pe doua drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculara pe plan.

Stim ca: d\perp a

Dar si d\perp b

Unde a,b\subset\alpha

a\cap b=\left\{O\right\}\Rightarrow

De unde obtinem ca: d\perp\alpha

dreapta perpendiculara pe un plan
Dar acum sa vedem cum calculam distanta de la un punct la un plan.

Definitie: Se numeste distanta de la un punct la un plan, lungimea segmentului care uneste punctul cu piciorul perpendicularei duse din acel punctul pe plan.
cum calculam distanta de la un punct la un plan
Lungimea segmentului de la un punct la un plan este cel mai scurt segment dintre toate segmentele care uneste punctul A cu punctele din planul \alpha
AP\perp\alpha\Leftrightarrow d\left(A,\alpha\right)=AP

Fiind data o piramida, distanta de la varful piramidei la planul bazei se numeste inaltimea piramidei.

Fiind dat un tetraedru, distanta de la un varf al tetraedrului la o fata opusa se numeste inaltimea tetraedrului.

Aplicatii: 

1. Se considera prisma triunghiulara ABCA’B’C’ cu muchia bazei AB=10 cm. Calculati distanta de la punctul C la planul (ABB’)

Demonstratie:

cum calculam distanta de la un punct la un plan

Observam ca triunghiul ABC este echilateral, deci stim ca CD\perp AB

Dar observam de asemenea ca AB\subset\left(ABB'\right)  si cu definitia dreptei perpendiculare pe un plan obtinem ca CD\perp\left(ABB'\right)

Deci obtinem ca: CD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\;\; cm

Obtinem ca d\left(C,\left(ABB'\right)\right)=CD=5\sqrt{3}\;\; cm

2. Fie dreptunghiul ABCD cu AB=8 cm  si BC=6 cm si un punct E, astfel incat EA\perp\left(ABC\right). Determinati:

a) d(E,(ABC))

b) d\left(C, (EAB)\right)

c) d\left(B,(EAD)\right)

Demonstratie:

Mai intai construim dreptunghiul ABCD, astfel avem:

reapta perpendiculata pe un plan

Dar la punctul a) Avem sa calculam distanta de la punctul A la planul (ABC), astfel obtinem:

dreapta perpendiculara pe un plan

Observam ca EA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow EA\perp AB

Cum stim ca EA\perp AB, gasim ca distnanta de la punctul E la planul ABC este lungimea segmentului EA=6 cm

Dupa cum stim si din informatiile de mai sus, distanta de la un punct la un plan este segmentul cu cea mai scurta lungime.

b) d\left(C, (EAB)\right)=?

dreapta perpendiculara pe un plan

 

Triunghiul ABC este dreptunghic in B. Astfel observam ca CB\perp AB

Dar AB\subset\left(EAB\right)

Deci obtinem ca CB\perp\left(EAB\right)

Si astfel avem ca d\left(C,(EAB)\right)=CB=6\;\; cm

c) \left(B,(EAD)\right)=?

Stim ca EA\perp (ABC), deci avem ca EA\perp AB dar si ca BA\perp EA

Fie CE\perp AB

Dar stim si ca BA\perp AD, deoarece ABCD este dreptunghi, de unde gasim si ca d\left(B,(EAD)\right)=BA=AB=8 cm

3. Fie tetraedrul ABCD astfel incat AB=BC=4 cm, BD=2 cm, AC=4\sqrt{2}\;\; cm si AD=2\sqrt{5}\;\; cm. Demonstrati ca AB\perp\left(BCD\right).

Demonstratie:

dreapta perpendiculara pe un plan
In triunghiul ABC, observam ca AB=BC=4 cm, deci triunghiul ABC este isoscel de baza AB, dar mai observam si ca AC=4\sqrt{2}

Si daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow 32=16+16

Deci triunghiul ABC este dreptunghic in B, adica AB\perp BC.

Iar in triunghiul ABD, observam ca AB=4 cm si BD=2 cm, iar AD=2\sqrt{5}

Iar la fel, daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem: AB^{2}+BD^{2}=AD^{2}

Ca si triunghiul ABD este dreptunghic in D, adica AB\perp BD. Dar stim ca: AB\perp BC

De unde obtinem ca AB\perp\left(BCD\right)

Teorema celor trei perpendiculare. Reciproca.

Definim prima Teorema celor trei perpendiculare

Teorema: Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan \alpha si prin piciorul ei trece o dreapta a, continuta in plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta b continuta in plan, atunci o dreapta c care uneste orice punct M al dreptei d cu intersectia P a celor doua drepte a si b, este perpendiculara pe cea de-a treia latura.

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

d\perp\alpha    \\a\subset\alpha, O\in a

a\perp b, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in D

\Rightarrow MP\perp b

 Reciprocele teoremei  celor trei perpendiculare

R.T.3\perp 1

Cum aplicam prima reciproca a celor trei perpendiculare

 

d\perp \alpha, d\cap\alpha=\left\{O\right\}    a\subset\alpha, O\in a, b\subset\alpha , a\cap b=\left\{P\right\},    M\in d, MP\perp b\Rightarrow a\perp b

R.T.3\perp 2

Cum aplicam Reciproca a doua a celor trei perpendiculare

d\perp a, d\cap a=\left\{O\right\}, a\subset\alpha

a\perp b, a, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in dMP\perp b\Rightarrow d\perp \alpha

Rezolvam probleme in care aplicam teorema celor trei perpendiculare !

1) Fie VABC o piramida triunghiulara regulata cu inaltimea VO= 8cm si apotema VM=10 cm. Calculati distanta de la O la planul unei fete.
Demonstratie:
distanta de la un punct la un plan
Astfel calculam distanta de la O la planul fetei VBC

Construim mai intai ON\perp VM, unde observam ca n\in (VM)

Cum M este mijlocul lui BC si N=pr_{VM}O

Astfel avem ca ON\perp VM, VM\perp BC,OM\perp BC, ON\subset\left(VOM\right) si VM\subset\left(VBC\right) obtinem conform Reciprocei a doua a celor trei perpendiculare ca ON\perp (VBC)

Astfel ca d\left(O,(VBC)\right)=ON

Cum Triunghiul VOM este dreptunghic in O, obtinem cu Teorema inaltimii ca ON=\frac{OM\cdot OV}{VM}

Stim ca OM este apotema bazei adica cu teorema lui Pitagora in triunghiul drptunghic VOM obtinem OM^{2}=VM^{2}-VO^{2}\Rightarrow OM^{2}=10^{2}-8^{2}\Rightarrow OM^{2}=100-64\Rightarrow OM=\sqrt{36}=6 cm
distanta de la un punct la un plan
2. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu latura de 12 cm.

Calculati:

a) d(A,BD')

b) m\left(\widehat{AB', (BDD')}\right)

Demonstratie:

…………………………….


Acest articol este doar o mica parte din acest curs online de pregatire matematica.

Problema rezolvata. Unghiul diedru. Distanta de la un punct la un plan

Unghiul diedru Distanta de la un punct la un plan

Problema rezolvata unghiul diedru

Pe planul triunghiului ABC cu AB=13, AC=20 cm si BC=21 cm se ridica perpendiculara AM AM=4\sqrt{3} cm. Aflati:

a) distanta de la M la dreapta BC

b) distanta de la punctul M la planul \left(MBC\right)

c) masura unghiului diedru format de planele \left(MBC\right) si \left(ABC\right)

Demonstratie:

distanta de la un punct la un plan

Observam ca triunghiul ABC este oarecare si astfel construim perpendiculara AN, astfel avem AN\perp BC

Acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiurile ANB si ANC, pentru a afla AN

In triunghiul ANB obtinem: AN^{2}=AB^{2}-BN^{2}\Rightarrow AN^{2}=13^{2}-BN^{2}\Rightarrow AN^{2}=169-BN^{2}(*)

Acum aplicam in triunghiul ANC teorema lui Pitagora si obtinem: AN^{2}=AC^{2}-CN^{2}\Rightarrow AN^{2}=20^{2}-CN^{2}\Rightarrow AN^{2}=400-CN^{2}(**)

Egaland cele doua relatii obtinem: 169-BN^{2}=400-CN^{2}\Rightarrow 169-BN^{2}=400-\left(21-BN\right)^{2}\Rightarrow 169-BN^{2}=400-\left(441-2\cdot 21\cdot BN+BN^{2}\right)\Rightarrow 169-BN^{2}=400-441+42BN-BN^{2}\Rightarrow 169-BN^{2}=-41+42BN-BN^{2}\Rightarrow -BN^{2}-42BN+BN^{2}=-41-169\Rightarrow -42BN=-210\rightarrow BN=210:42\Rightarrow BN=5

Ca sa aflam BN  stim ca BC=BN+NC\Rightarrow NC=BC-BN\Rightarrow NC=21-BN

Dupa ce am aflat BN putem din (*) swa aflam AN
AN^{2}=169-25\Rightarrow AN=\sqrt{144}\Rightarrow AN=12 cm

Revenind la problema, stim ca : AM\perp\left(ABC\right)

Construim AN\perp BC  \\ AN, BC\subset\left(ABC\right)\Rightarrow MN\perp BC

Cu teorema celor trei perpendiculare am gasit d\left(M,BC\right)=MN

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MAN
MN^{2}=MA^{2}+AN^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(4\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow MN^{2}=48+144\Rightarrow MN=\sqrt{192}\Rightarrow MN=8\sqrt{3}

PROBLEMA-REZOLVATA-UNGHIUL-DIEDRU1

b) d\left(A,\left(MBC\right)\right)=AP

Fie AP\perp MN  \\ MN\subset\left(MBC\right)\Rightarrow AP\perp\left(MBC\right)

Stim ca daca o dreapta este perpendiculara pe o alta dreapta dintr-un plan, atunci dreapta este perpendiculara pe plan.

Stim ca triunghiul MAN dreptunghic in A, deci aplicam Teorema inaltimii:
AP=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{AM\cdot AN}{MN}=\frac{4\sqrt{3}\cdot 12}{8\sqrt{3}}=\frac{48\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}^{(8\sqrt{3}}=6 cm.
distanta de la un punct la un plan

c) m\left(\widehat{\left(MBC\right),\left(ABC\right)}\right)

Observam BC muchia comuna. Astfel avem AN\perp BC  \\AN, BC\subset\left(ABC\right)

Dar si ca MN\perp BC  \\MN, BC\subset\left(MBC\right) (din punctul a))

Astfel obtinem m\left(\widehat{\left(MBC\right),\left(ABC\right)}\right)=m\left(\widehat{AN,MN}\right)=m\left(\widehat{ANM}\right)=30^{0}

Cum triunghiul MAN e dreptunghic aplicam functiile trigonometrice
\sin \widehat{ANM}=\frac{cat.opusa}{ipotenuza}=\frac{AM}{MN}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}^{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=30^{0}
Cum aflam unghiul diedru a doua plane?

Atentieputem aplica functiile trigonometrice doar daca avem triunghi dreptunghic.

Piramida patrulater regulata

 In clasa a V-a am invatat la geometrie figurile geometrice (triunghiuri, patrulatere, paralelograme) si o parte din corpurile geometrice: prisma (prisma triunghiular regulata, prisma patrulater regulata), piramida (piramida triunghiular regulata, piramida patrulater regulata, tetraedru, trunchi de piramida patrulater regulata, trunchi de piramida triunghiular regulata), dar si corpurile rotunde (cilindrul circular drept, conul, sfera). Toate aceste notiuni o sa le invatati in clasa a VIII-a.

Acum o sa discutam despre piramida.

Definitie: O piramida este definita de un poligon plan, numita baza, si un punct exterior acestui plan, numit varful piramidei, unind varful piramidei cu varfurile poligonului.

In functie de natura poligonului de la baza, piramidele sunt de mai multe feluri:

piramide patrulatere

– piramide triunghiulare

– piramide hexagonale.

In continuare o sa vorbim despre piramida patrulatera.

Piramida patrulatera regulata
Elementele unei piramide patrulatere sunt:

-varful piramidei V

-muchiile laterale: [VA], [VB], [VC], [VD]

-muchiile bazei:[AB], [BC], [CD], [DA]

-baza piramidei patrulatere ABCD

– inaltimea VO

– diagonalele bazei AC, BD

-fetele laterale ale piramidei \Delta VAD, \Delta VAB, \Delta VBC, \Delta VDC.

In cazul in care piramida patrulatera este regulata, atunci baza este patrat, iar fetele laterale, (triunghiurile pentru piramida patrulatera) sunt isoscele. Alte elemente ale piramidei mai sunt : apotema piramidei, apotema bazei, iar apotema piramidei impreuna cu apotema bazei si cu inaltimea formeaza un triunghi dreptunghic.

Definitie: Se numeste inaltimea piramidei distanta de la varful piramidei la centrul bazei.

Se numeste apotema piramidei distanta de la varful piramidei la o muchie a bazei.

Se numeste apotema bazei distanta de la centrul piramidei (punctul de intersectie al diagonalelor, in cazul piramidei patrulatere regulate) la muchia bazei.
Elementele componente ale piramidei
Apotema piramidei se noteaza cu (a_{p}), iar apotema bazei se noteaza cu (a_{b}).

Acestea sunt elementele componente ale unei piramide patrulatere regulate, intr-un alt articol o sa vorbim de piramida triunghiular regulata.

Teorema celor trei perpendiculare

Teorema celor trei perpediculare joaca un rol important in demonstrarea unor egalitati de segmente, dar mai ales in aflarea lungimilor unor segmente.

Asadar ,Teorema celor trei perpendiculare o sa ne ajute mult in acest an pentru a afla mai usor lungimea unor laturi. Dar pana sa ajungem acolo trebuie sa o intelegem pentru a o aplica.

Incepem prin a da enuntul teoremei

Daca o dreapta este perpendiculara pe un plan si prin piciorul acesteia trece o dreapta continuta in  plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta din plan, atunci orice dreapta care uneste un punct al perpendicularei pe plan cu punctul de  intersectie a celor doua perpendiculare continute in plan, este perpendiculara pe a doua dreapta din plan.

 

cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

Avem d\perp \alpha

Dar mai stim si ca \\g\perp f

Mai mult \\g,f\subset \alpha

Obtinem ca: \\c\perp f unde \left\{P\right\}=d\cap g

\left\{A\right\}=f\cap g

M\in d si c=AM

Aplicatie la Teorema celor trei perpendiculare:

1. Fie ABCA’B’C’ o prisma triunghiulara regulata avand latura bazei AB= 6 cm si AA'=3\;\; cm.

a) distanta de la A’  latura BC

b) distanta de la punctul C’ la dreapta AD, daca D este mijlocul lui [BC]

Demonstratie:

Teorema celor trei perpendiculare

Observam ca AA^{'}\perp\left(ABC\right)

Dar AD\perp BC AD, BC\subset\left(ABC\right)

Cu Teorema celor trei perpendiculare rezulta ca A^{'}D\perp BC

Deci distanta de la punctul A’ la dreapta BC este A’D, unde D\in BC

Observam ca triunghiul AA’D este dreptunghic in A, deci putem aplica Teorema lui Pitagora, dar mai intai aflam AD.

Stim ca o prisma triunghiular regulata are baza triunghi echilateral si mai stim si ca AD este si mediana si inaltime in triunghiul echilateral ABC, deci obtinem AD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}^{(2}=3\sqrt{3}\;\;\; cm.

Deci, in triunghiul ABC aplicam teorema lui Pitagora A^{'}D^{2}=A^{'}A^{2}+AD^{2}\Rightarrow A^{'}D^{2}=3^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}=9+9\cdot 3=9+27\Rightarrow A^{'}D^{2}=36\Rightarrow A^{'}D=\sqrt{36}=6\;\; cm

Deci am aflat ca distanta de la A’ la BC este lungimea segmentului A’D=6 cm.

b)  Acum sa vedem cum aflam distanta de la C’ la dreapta AD

Aplicatii Teorema celor trei perpendiculare

Stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei de la punctul respectiv la dreapta dar si ca distanta de la un punct la o dreapta este cea mai scurta distanta.

 

Stim din ipoteza ca CC'\perp\left(ABC\right)\Rightarrow CC'\perp\left(ADC\right)

Observam ca CD\perp AD, deoarece AD este inaltime in triunghiul echilateral ABC

Dar si ca CD, AD\subset \left(ADC\right)

Iar cu Teorema celor trei perpendiculare avem ca C'D\perp AD

Asadar in triunghiul CC’D aplicam Teorema lui Pitagora.

Dar mai intai aflam CD=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\;\; cm, deoarece D este mijlocul segmentului [BC].

C'D^{2}=CC'^{2}+CD^{2}\Rightarrow C'D^{2}=3^{2}+3^{2}\Rightarrow C'D^{2}=9+9\Rightarrow C'D=\sqrt{18}\Rightarrow C'D=3\sqrt{2}

Asadar este esential sa stim Teorema celor trei perpendiculare dar sa o si aplicam, deoarece ne ajuta in rezolvarea problemelor, in aflarea diferitelor distante dintre un punct si o dreapta, dintre un punct si un plan, dintre doua plane.