Reciproca teoremei lui Thales

Dupa ce am discutat despre Teorema lui Thales, astazi o sa discutam despre Reciproca teoremei lui Thales.

Ne reamintim Teorema lui Thales ca sa intelegem si sa retinem mai usor  reciproca lui Thales:

Teorema. O paralela dusa la una dintre laturile unui triunghi determina pe cele doua laturi sau pe prelungirile acestora segmente proportionale.

Reciproca lui Thales

Teorema : Daca o dreapta determina pe laturile unui triunghi segmente proportionale cu aceste laturi, atunci ea este paralela cu cea de a treia latura a triunghiului.

Cum aplicam reciproca lui Thales
\Delta ABC
M\in AB, N\in AC
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow MN||BC.
Aplicatie

1) Fie ABC un triunghi oarecare E\in \left(AB\right), F\in\left(AC\right). Aratati ca EF||BC.

AE=12; EB=18;AF=10;FC=15;

Solutie:

problema rezolvata reciproca lui Thales

Aplicam reciproca lui Thales, astfel obtinem: \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}\Rightarrow\frac{12}{18}=\frac{10}{15}\Rightarrow\frac{2}{3}=\frac{2}{3} deci segmentele sunt proportionale si astfel EF||BC.

2) In trapezul ABCD cu AB||CD si AC\cap CD=\left\{O\right\}, se iau punctele M\in\left(AO\right) si N\in\left(BO\right) astfel incat \frac{AM}{MO}=\frac{2}{3} si \frac{BN}{BO}=\frac{2}{5}. Aratati ca MN||DC.

Cum aplicam reciproca lui Thales

In triunghiul AOB stim ca \frac{AM}{MO}=\frac{2}{3}\Rightarrow AM=MO\cdot\frac{2}{3}

Stim ca …. continuarea in curs ….

Acest articol este o mica portiune dintr-un curs de pregatire online. Incepe acum  cursul pentru a avea acces la lectii explicate pe larg, teste online si probleme rezolvate.

Rationalizarea numitorului unei fractii

Dupa ce am invatat sa scoatem factorii de sub radicali sau sa introducem factorii sub radicali, acum o sa invatam Rationalizarea numitorului unei fractii .

Operatia de rationalizare a numitorilor unei fractii exprimata printr-un numar irational de forma a\sqrt{b} sau a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d}, a, c\in Q^{*} si b, d\in Q_{+}^{*}  este operatia in urma careia, prin amplificarea fractiei cu un factor, numitorul obtinut se transforma intr-un numar irational.

Deosebim urmatoarele cazuri:

  •  Rationalizarea numitorilor de forma: a\sqrt{b}, a\in Q, b\in Q_{+}^{*} intr-un astfel de caz procedam astfel \frac{c}{a\sqrt{b}}=\frac{c\cdot \sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}\right)^{2}}=\frac{c\sqrt{b}}{a\cdot b}, a\in Q, b\in Q_{+}^{*}

Exmplu: \frac{15}{\sqrt{5}}=\frac{15\cdot\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=\frac{15\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{5}}{1}=3\sqrt{5}

Dupa ce am rationalizat numitorul am simplificat fractia prin 5 si astfel am obtinut rezultatul.

  • Rationalizarea numitorilor de forma a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d}, a, c\in Q^{*}, b, d\in Q_{+}^{*}

In acest caz folosim formula \left(a+b\right)\cdot\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}, ca sa rationalizam numitorii de forma a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d}, a, c\in Q^{*}, b, d\in Q_{+}^{*} se face prin amplificarea fractiei cu $latex a\sqrt{b} \mp c\sqrt{d}$, iar dupa amplificare numitorul devine un numar rational.

Exemplu:

1) Calculati:

a) \left(\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right):\left(\sqrt{3}-1\right) =\left(\frac{1\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+ \frac{1\left(\sqrt{5}-\sqrt{4}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{4}\right)^{2}}+ \frac{1\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{4}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+ \frac{1\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right):\left(\sqrt{3}-1\right)= \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}\right):\left(\sqrt{3}-1\right) =\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}\right):\left(\sqrt{3}-1\right)= \left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right):\left(\sqrt{3}-1\right)= \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)}= \sqrt{2}.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus prima data am rationalizat numitorii asa cum am invatat mai sus, iar apoi am efectuat calculele. Am dat  factor comun ca sa putem simplifica si astfel am obtinut rezultatul.

b) \left(\frac{6}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{3}{2\sqrt{3}+3}\right):\left(\sqrt{2}-1\right)=

\left(\frac{6\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{\left(3\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{3\left(2\sqrt{3}-3\right)}{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-3^{2}}\right):\left(\sqrt{2}-1\right)=

\left(\frac{18\sqrt{2}-12\sqrt{3}}{9\cdot 2-4\cdot 3}+\frac{6\sqrt{3}-9}{4\cdot 3-9}\right):\left(\sqrt{2}-1\right)=\left(\frac{18\sqrt{2}-12\sqrt{3}}{18-12}+\frac{6\sqrt{3}-9}{12-9}\right):\left(\sqrt{2}-1\right)=

\left(\frac{6\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{6}+\frac{3\left(2\sqrt{3}-3\right)}{3}\right):\left(\sqrt{2}-1\right)= \left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\right):\left(\sqrt{2}-1\right)= \left(3\sqrt{2}-3\right):\left(\sqrt{2}-1\right)=\frac{3\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{2}-1}=3

La fel ca si la exercitiul de mai sus, prima data am rationalizat numitorii, apoi am dat factor comun pentru a putea simplifica numaratorul cu numitorul, apoi am efectuat calculele.

Apoi am dat iar factor comun pentru a simplifica rezultatul pe care l-am gasit in paranteza cu restul si astfel am gasit rezultatul 3.

c) \left(\frac{5}{\sqrt{18}}+\frac{3}{4\sqrt{2}}-\frac{7}{\sqrt{72}}\right):\frac{15}{8\sqrt{2}}=  \left(\frac{5\sqrt{18}}{18}+\frac{3\sqrt{2}}{4\cdot 2}-\frac{7\sqrt{72}}{72}\right):\frac{15\sqrt{2}}{8\cdot 2}=  \left(\frac{5\cdot 3\sqrt{2}}{18}+\frac{3\sqrt{2}}{8}-\frac{7\cdot 6\sqrt{2}}{72}\right):\frac{15\sqrt{2}}{16}=  \left(\frac{5\sqrt{2}}{6}+\frac{3\sqrt{2}}{8}-\frac{7\sqrt{2}}{12}\right)\cdot\frac{16}{15\sqrt{2}}=  \left(\frac{4\cdot 5\sqrt{2}+3\cdot 3\sqrt{2}-2\cdot 7\sqrt{2}}{24}\right)\cdot \frac{16}{15\sqrt{2}}=  \left(\frac{20\sqrt{2}+9\sqrt{2}-14\sqrt{2}}{24}\right)\cdot\frac{16}{15\sqrt{2}}=  \frac{15\sqrt{2}}{24}\cdot\frac{16}{15\sqrt{2}}=\frac{1}{2}

Foarte important! La rationalizarea numitorilor trebuie sa intelegem regulile de rationalizare, dar si scoaterea factorilor de sub radicali cat si introducerea factorilor sub radicali.

Recapitulare clasa a VII-a. Regulile semnelor pentru Numere Intregi

Este foarte important, din clasa a VI-a la algebra, sa ne reamintim regulile semnelor pentru numere intregi deoarece in clasa a VII-a o sa le folosim mai tot timpul.

Astfel o sa incepem prin a rezolva cateva exercitii mai simple si apoi cateva  mai complexe.

1. Calculati:

a) (-21+13)\cdot[(-56):(-5+12)+(-72):(-8)]=
(-8)\cdot[(-56):(+7)+(+9)]=
(-8)\cdot[(-8)+(+9)]=
(-8)\cdot(+1)=-8

Pentru inceput, in prima paranteza a exercitiului, asa cum am invatat inca din clasa a VI-a, dam semnul numarului celui mai mare si scadem.

Apoi copiem semnul de inmultire si ne ocupam de paranteza dreapta.

Astfel, asa cum am invatat  din clasele primare, rezolvam mai intai paranteza rotunda, inmultirile si impartirile, adica (-5+12), care la fel ca si la prima parte a exercitiului dam semnul celui mai mare si scadem pe cel mic din cel mare (semnul celui mai mare este + si daca scadem pe cel mic din cel mare obtinem 12-5=7).

Apoi impartirea (-72):(-8). Asa cum am invatat negativ pe negativ tot timpul obtinem pozitiv (-72):(-8)=+9. Restul exercitiului se face asemanator.

b)
-6^{2}:(2^{2}\cdot 3)-(-54+2^{3}\cdot 7)^{2}=
-36:(4\cdot 3)-(-54+8\cdot 7)^{2}=
-36:12-(-54+56)^{2}=
-3-(+2)^{2}=
-3-4=-7.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai ridicam numarul 6 la puterea a doua, dupa cum stim din clasa a V-a 6^{2}=6\cdot 6=36

Diferenta acum este ca apare si semnul din fata lui 6, astfel semnul il copiem asa cum este si ridicam numarul la puterea a doua impartind.

Mai departe rezolvam paranteza rotunda adica calculam  2^{2}=2\cdot 2= 4 asa cum am calculat mai sus  6^{2} (daca in schimb avem de exemplu  (-2)^{2}=(-2)\cdot (-2)=+4, (-)\cdot (-)=+ ,orice numar negativ sau pozitiv ridicat la un numar par obtinem tot un numar pozitiv daca in schimb avem  (-2)^{3}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=4\cdot (-2)=-8 , orice numar negativ ridicat la un numar impar obtinem tot un numar negativ).

Dupa ce am terminat cu prima paranteza trecem la urmatoarea, copiem semnul – din fata parantezei si apoi rezolvam ridicarea la putere din paranteza  2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8 .

Rezolvand in continuare, copiem prima parte a exercitiului si efectuam inmultirea din prima paranteza adica  4 \cdot 3=12 copiem semnul – si rezolvam inmultirea din paranteza a II- a  7 \cdot 8=56 .

Efectuand impartirea  -36:12=-3, adica negativ pe pozitiv obtinem negativ, copiem semnul, ajungem la paranteza a II-a si efectuam -54+56=2

Am discutat mai sus cum se efectueaza aceasta parte a exercitiului.

Ultima parte a exercitiului  -3-4=-7 se obtine astfel: dam semnul comun celor doua numere adica – si numerele le adunam.

Problema rezolvata folosind proprietatile trapezului

Prezentam un articol in care rezolvam o problema folosind proprietatile trapezului, dar si ale triunghiului isoscel.

Fie O intersectia diagonalelor trapezului ABCD. Daca OD congruent cu OC, demonstrati ca:

a) AOB triunghi isoscel

b) trapezul ABCD este isoscel

c) mijloacele bazelor si punctul O sunt coliniare

Demonstratie:

 

cum aratam ca un triunghi este isoscel

Observam din ipoteza problemei ca [OC]\equiv[OD], deci obtinem ca triunghiul \Delta ODC este isoscel  de baza DC, deci obtinem si ca \widehat{BDC}\equiv\widehat{ACD}

Dar stim de la definita trapezului ca AB||DC si folosind unghiul determinat de o dreapta cu o secanta, obtinem ca: \widehat{ABD}\equiv\widehat{BDC} (ca unghiuri alterne interne)

Dar si \widehat{BAC}\equiv\widehat{ACD}

Dar de mai sus stim ca: \widehat{BDC}\equiv\widehat{ACD} deci obtinem si ca \widehat{ABD}\equiv\widehat{BAC} deci cu proprietatile triunghiului isoscel \Delta AOB isoscel de baza AB.

cum aratam ca un trapez este isoscel

a) Stim ca triunghiul AOB este isoscel, deci stim ca [AO]\equiv[BO]

Dar din ipoteza stim si ca triunghiul DOC este isoscel, adica [DO]\equiv[CO]

Dar observam ca \widehat{AOD}\equiv\widehat{BOC}(ca unghiuri opuse la varf)

Deci obtinem ca \Delta ADO\equiv\Delta BCO, de unde obtinem si ca [AD]\equiv[BC], adica laturile neparalele sunt congruente.

Si cu proprietatea de la trapezul isoscel obtinem ca :

-Daca intr-un trapez laturile neparalele sunt congruente, atunci trapezul este isoscel.

Stim ca [AD]\equiv[BC]\Rightarrow ABCD trapez isoscel

b) Fie M mijlocul segmentului AB, deci avem ca [AM]\equiv[MB]

Si N mijlocul segmentului DC si obtinem ca [DN]\equiv[NC]

Observam ca OM este mediana in triunghiul AOB, deci si inaltime si obtinem ca m\left(\widehat{AMO}\right)=90^{0}

Dar si ca triunghiul DOC isoscel so ON mediana, deci in inaltime si astfel obtinem ca  m\left(\widehat{DNO}\right)=90^{0}

Observam ca OM si ON perechi de semidrepte opuse deci m\left(\widehat{MON}\right)=180^{0}

De unde rezulta ca punctele M, O, N sunt coliniare.

c) Puneti-va si voi mintea la contributie si rezolvati. Este foarte usor punctul acesta. 🙂

Patrulaterul convex si patrulaterul concav

Inainte  sa definim notiunea de paralelogram, definim notiunea de patrulater.

Fiind date patru puncte distincte A, B, C, D, astfel incat:

– oricare trei necoliniare

AB\cap CD=\Phi, BC\cap AD=\Phi numim patrulater de varfurile A, B, C, D figura geometrica formata din reuniunea [AB]\cup[BC]\cup[CD]\cup[DA].

Notatie: ABCD.

Definitie: Un patrulater se numeste convex daca oricare doua puncte aflate in interiorul sau segmentul care le uneste este inclus in interiorul sau.
cum arata un patrulater convex

Definitie: Un patrulater se numeste concav, daca exista doua puncte in interiorul sau astfel incat segmentul care le uneste nu este inclus in interiorul sau.
cum arata un patrulater concav
Proprietatea unghiurilor intr-un patrulater convex.

Intr-un patrulater convex suma masurii unghiurilor este egala cu 360^{0}.

Aplicatii:

1) Patrulaterul convex MNPQ are perimetrul egal cu 120 cm. Triunghiul MNP are perimetrul de 82 cm. Stiind ca diagonala MP=24 cm, aflati perimetrul triunghiului MQP.

Demonstratie:
cum aflam perimetrul unui patrulater convex
Stim ca: P_{MNPQ}=120\Leftrightarrow MN+NP+PQ+QM=120\;\;cm

Mai stim si ca: P_{MNP}=82\Leftrightarrow MN+NP+PM=84\;\;cm

Dar mai stim si ca MP=24 cm, deci gasim cu relatia de mai sus ca: MN+NP+MP=84\Rightarrow MN+NP+24=84\Rightarrow MN+NP=84-24\Rightarrow MN+NP=60\;\; cm

Dar din perimetrul patrulaterului stim ca: MN+NP+PQ+QM=120\Rightarrow 60+PQ+QM=120\Rightarrow PQ+QM=120-60\Rightarrow PQ+QM=60\;\;cm\Rightarrow

Noi trebuie sa aflam perimetrul triunghiului P_{MQP}=MP+PQ+QM

Dar  stim ca PQ+QM=60 cm si din ipoteza stim ca MP=24 cm, astfel avem ca: P_{MQP}=24+60=84\;\; cm

2) In patrulaterul convex ABCD se dau: m\left(\widehat{BAD}\right)=110^{0}, m\left(\widehat{ABC}\right)=110^{0}, m\left(\widehat{ADB}\right)=29^{0},m\left(\widehat{BDC}\right)=56^{0}.

Caculati masurile unghiurilor: \widehat{DBC}, \widehat{ABD},\widehat{ADC},\widehat{C}

Demonstratie:
cum aflam masura unghiurilor intr-un patrulater convex
Observam ca in triunghiul ADB stim doua unghiuri si astfel putem sa-l aflam pe cel de-al treilea. Deoarece suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de 180 grade, astfel avem ca: m\left(\widehat{BAD}\right)+m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}\Rightarrow 110^{0}+29^{0}+m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}\Rightarrow 130^{0}+m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}-139^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ABD}\right)=41^{0}

Acum sa aflam masura unghiului DBC, astfel stim ca: m\left(\widehat{ABC}\right)=110^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ABD}\right)+m\left(\widehat{DBC}\right)=110^{0}\Rightarrow 41^{0}+m\left(\widehat{DBC}\right)=110^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DBC}\right)=110^{0}-41^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DBC}\right)=69^{0}

Acum ca sa aflam masura unghiului ADC, stim ca: m\left(\widehat{ADC}\right)=m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{BDC}\right)=29^{0}+56^{0}=85^{0}

Sa aflam masura unghiului .

Stim conform proprietatii de mai sus enuntate ca Suma masurii unghiurilor intr-un patrulater convex este de 360^{0}

Astfel avem ca: m\left(\widehat{BAD}\right)+m\left(\widehat{ADC}\right)+m\left(\widehat{DCB}\right)+m\left(\widehat{CBA}\right)=360^{0}\Rightarrow 110^{0}+85^{0}+m\left(\widehat{DCB}\right)+110^{0}=360^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DCB}\right)=360^{0}-305^{0}\Rightarrow  m\left(\widehat{DCB}\right)=55^{0}

Scoaterea factorilor de sub radicali

Este foarte important sa stim sa scoatem factorii de sub radicali, deoarece scoaterea factorilor de sub radicali ne usureaza mult din munca, atunci cand rezolvam exercitii.

Ca sa stim sa scoatem factorii de sub radicali trebuie sa invatam urmatoarele reguli:

Daca n\geq 0 si n=a^{2}b, atunci \sqrt{n}=\sqrt{a^{2}b}=|a|\sqrt{b}=a\sqrt{b}, daca a> 0 si -a\sqrt{b}, daca a<0.

Stim si de la lectiile anterioare ca \sqrt{a^{2}}=|a|

Exemplu: 1. Scoateti factorii de sub radicali:

a) \sqrt{50}

b) \sqrt{108}

c) \sqrt{243}

d)\sqrt{3^{2}+3^{2}\sqrt{121}}

Solutie:

a) Ca sa scoatem factorii de sub radicali, mai intai descompunem numarul 50 in produs de factori primi, astfel: 50=2\cdot 5^{2}

Deci \sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 5^{2}}=\sqrt{5^{2}\cdot 2}=5\sqrt{2}

b) \sqrt{108}

La fel ca si mai sus, mai intai scriem numarul ca produs de numere prime:

cum scoatem factorii de sub radicali

Deci 108=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3

Iar \sqrt{108}=\sqrt{2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3}=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}

Ca sa descompunem cat mai usor numerele in produs de factori primi putem sa folosim criteriile de divizibilitate.

c) \sqrt{243}

cum scoatem factorii de sub radicali

Deci avem \sqrt{243}=\sqrt{3^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3}=3\cdot 3\cdot\sqrt{3}=9\sqrt{3}

Observati ca dupa ce am descompus numarul putem sa scoatem direct factorii de sub radical.

d) \sqrt{3^{2}+3^{2}\sqrt{121}}=\sqrt{3^{2}\left(1+\sqrt{121}\right)}=\sqrt{3^{2}\left(1+11\right)}=\sqrt{3^{2}\cdot 12}=3\cdot\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}.

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus, mai intai am dat factor comun pe 3^{2} si apoi am scos factorul de sub radical, deoarece observam ca avem suma si nu putem sa scoatem factorul de sub radical cand avem suma, ci doar cand avem produs.

Mai observam si ca \sqrt{121}=11, deoarece este patrat perfect, apoi am facut suma in paranteza, de unde am obtinut numarul 12.

Adica produsul dintre un numar din care putem sa scoatem factorul si un numar care trebuia descompus, astfel 12=2^{2}\cdot 3, de unde observati ca a mai iesit si 2, factor de sub radical.

e) \sqrt{\frac{588}{686}}

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus avem un cat, astfel incepem mai intai prin a scrie fiecare numar ca produs de numere prime, astfel avem:

588=2^{2}\cdot 7^{2}\cdot 3

686=7^{2}\cdot 7\cdot 2

exercitii rezolvate cu scoatera factorilor de sub radicali

 

Dar cu ajutorul regulilor de calcul de la radicali stim ca \sqrt{\frac{588}{686}}=\frac{\sqrt{588}}{\sqrt{686}}=\frac{\sqrt{2^{2}\cdot 7^{2}\cdot 3}}{\sqrt{7^{2}\cdot 7\cdot 2}}=\frac{2\cdot 7\sqrt{3}}{7\sqrt{7\cdot 2}}=\frac{14\sqrt{3}}{7\sqrt{14}}^{(7}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{14}}

Deci cu Scoaterea factorilor de sub radicali putem sa calculam mult mai usor radicalii fara a mai fi nevoie de a calcula radicalul propriu zis, adica sa extragem radicalul.

Este important  sa ne reamintim din clasa a VI-a descompunerea numerelor in produs de factori primi, deoarece observati ca este o conditie esentiala ca sa invatam sa scoatem factorii de sub radicali.

 

Teorema lui Thales

Teorema lui Thales ne ajuta sa aflam lungimea unor segmente intr-un triunghi daca stim ca o dreapta este paralela cu o alta dreapta in triunghi si stim anumite lungimi de segmente.

Teorema. O paralela dusa la una dintre laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente omoloage proportionale.
cum aplicam Teorema lui Thales
Fie triunghiul ABC, cu DE||BC
Atunci \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Atentie!  Aplicam Teorema lui Thales doar daca se verifica ipotezele teoremei, adica trebuie sa avem o paralela intr-un triunghi.
Aplicatii:

Intr-un triunghi dreptunghic ABC, cu m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, m\left(\widehat{C}\right)=30^{0} se iau punctele D\in(AC) si F\in(BC) astfel incat EF||AB si \frac{AE}{AC}=\frac{3}{8}. Daca EF=10 cm, calculati:
a) FC
b) BC
c) AB

Demonstratie :
Teorema lui Thales
Observam ca EF||AB cu Criteriile de paralelism ca BC este secanta si astfel obtinem ca m\left(\widehat{CFE}\right)=m\left(\widehat{CBA}\right)=60^{0} (ca unghiuri corespondente), dar si
m\left(\widehat{CEF}\right)=m\left(\widehat{CAB}\right)=90^{0} (ca unghiuri corespondente)
Astfel obtinem ca triunghiul EFC este dreptunghic in E si putem sa aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, adica
EF=\frac{FC}{2}\Rightarrow 10=\frac{FC}{2}\Rightarrow FC=2\cdot 10=20\;\; cm
Deci obtinem ca FC=20 cm.

Acum ca sa aflam BC, stim din ipoteza ca EF||BC, deci putem sa aplicam Teorema lui Thales, si obtinem
\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow
\frac{3}{8}=\frac{BC-FC}{BC}\Rightarrow
\frac{3}{8}=\frac{BC-20}{BC}\Rightarrow
3\cdot BC=8\cdot\left(BC-20\right)\Rightarrow
3BC=8BC-8\cdot 20\Rightarrow 3BC-8BC=-160\Rightarrow
-5BC=-160\Rightarrow BC=\frac{-160}{-5}=32

Acum ca am aflat BC, in triunghiul ABC dreptunghic in A stim m\left(\widehat{ACB}\right)=30^{0} putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-{90}, adica
AB=\frac{BC}{2}=\frac{32}{2}=16 cm

Asadar este important in rezolvarea problemelor de geometrie sa folosim toate informatiile care ni le da ipoteza. Observati ca in cazul problemei de mai sus am mai folosit si criteriile de paralelism ce le-am invatat in clasa a VI-a.