Criterii de divizibilitate

Probabil ca stiti din clasa a V-a despre criterii de divizibilitate. Din acest motiv nu o sa mai insistam sa le scriem aici. Daca doriti sa le aflati le veti gasi pe toate, precum si alte exercitii rezolvate si explicate, intr-un curs de pregatire. 

Exemple:

1) Fie multimile A=\left\{x|x\in N, x\vdots 10, x<100\right\}
Si B=\left\{x|x\in N, x\leq 50, x\vdots 10\right\}

Pentru a rezolva exercitiul trebuie sa stim criteriul de divizibilitate cu 10, adica un numar este divizibil cu 10 daca ultima sa cifra este 0.

Multimea A=\left\{10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90\right\}, iar multimea B=\left\{10; 20; 30; 40; 50 \right\}, aici avem si 50 pentru ca e mai mic sau egal decat 50.

A\cup B=\left\{10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90 \right\}
A\cap B=\left\{10; 20; 30; 40; 50 \right\}
A-B=\left\{60; 70; 80; 90 \right\}

B-A=\oslash, despre reuniune, intersectie si diferenta am mai vorbit in alte lectii si articole.

2) Demonstrati ca daca a\vdots 2 si a\vdots 3, atunci a\vdots 6.

Solutie: Din definitia divizibilitatii pe care am invatat-o in lectia anterioara gasim ca daca \\a\vdots 2, \Rightarrow \exists c\in N,\;\; a.i\\ a=2\cdot c, c\in N, iar daca a\vdots 3 \Rightarrow \exists t\in N\;\ a.i\;\ a=3\cdot t.

Cum a=a, rezulta 2c=3t\Rightarrow c=\frac{3t}{2} si c\in N. Atunci \frac{t}{2}=x si x\in N, rezulta t=2x, x\in N. Din a=3t \Rightarrow a=6t, t\in N, deci a\vdots 6.

3) Scrieti numerele naturale de forma:

a) \bar{32x}

b) \bar{x6x}

c) \bar{xxx} divizibile cu 3.
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa stim criteriul de divizibilitate cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 3. Un numar este divizibil cu 3 daca suma cifrelor este divizibila cu 3. Astfel pentru ….continuarea in curs.……

Acest articol este doar o mica parte din acest curs de pregatire. Mai multe exemple, lectii complete si teste online gasesti daca te inscrii in curs.

Probleme rezolvate. Congruenta triunghiurilor

Prezentam doua probleme cu ajutorul carora o sa ne reamintim notiunile pe care le-am invatat in clasa a 6-a.

Astfel, vom incepe cu o problema in care trebuie sa demonstram o egalitate intre segmente. Pentru aceasta vom folosi congruenta triunghiurilor.

Iar in cea de-a doua problema, la fel, trebuie sa demonstram o egalitate. Pentru aceasta vom folosi teorema Medianei, dar si Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, notiuni pe care le-am invatat in anul anterior.

Incepem prin a rezolva problema:

1) Fie triunghiul isoscel ABC, de baza BC, iar D\in \left(AB\right) si E\in\left(AC\right) astfel incat \left[BD\right]\equiv\left[CE\right]. Pe semidreptele [BE se ia un punct F astfel incat [AB]\equiv [AF], iar pe semidrepata [AF se ia punctul G astfel incat [AG]\equiv [AD]. Demonstrati ca BF=CD+CG.

Demonstratie:

problema rezolvata cu triunghiul dreptunghic
Astfel stim ca \left[AG\right]\equiv\left[AD\right](din ipoteza)

Dar stim si ca [AE]\equiv [AD] (deoarece triunghiu ABC isoscel si tot din ipoteza stim ca [BD]\equiv[CE]) deci [AE]\equiv [AD]si cu tranzitivitatea rezulta ca [AG]\equiv [AE]

Observam si ca \widehat{GAC}\equiv\widehat{FAC}

Stim din ipoteza ca [AB]\equiv [AF]

Dar cum triunghiul ABC isoscel stim si ca [AB]\equiv [AC]

Deci obtinem [AC]\equiv [AF]

Si astfel obtinem ca \Delta AGC\equiv\Delta AEF (cazul L.U.L)

Si astfel obtinem ca [GC]\equiv [EF]

Dupa cum am spus si mai sus, stim ca [AD]\equiv [AE]
[AB]\equiv[AC] (deoarece triunghiul ABC isoscel)

Dar si \widehat{DAC}\equiv\widehat{BAE}. Deci cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca \Delta ADC\equiv \Delta AEB si astfel obtinem ca [DC]\equiv [BE]

Observam din figura ca BF=BE+EF\Rightarrow BF=DC+CG

Deci am demonstrat ceea ce trebuia sa demonstram.

2) Fie triunghiul ABC dreptunghic in A si AD\perp BC, D\in \left(BC\right). Daca m\left(\widehat{C}\right)=15^{0}
aratati ca AD=\frac{BC}{4}

Demonstratie:
triunghiul dreptunghic

Fie M\in \left(BC\right), astfel incat [BM]\equiv[MC]

Astfel cu teorema Medianei obtinem ca AM=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{BC}{2}

Observam ca [AM]\equiv[BM], deci triunghiul ABM isoscel de baza AB, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, astfel m\left(\widehat{ABM}\right)=m\left(\widehat{BAM}\right)=75^{0}

Deci putem afla masura unghiului AMB
m\left(\widehat{MAB}\right)+m\left(\widehat{ABM}\right)+m\left(\widehat{BMA}\right)=180^{0}\Rightarrow 75^{0}+75^{0}+m\left(\widehat{BMA}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BMA}\right)=180^{0}-150^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BMA}\right)=30^{0}

Deci in triunghiul ADM, dreptunghic in D, putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel
AD=\frac{1}{2}\cdot AD=\frac{AM}{2}\rightarrow AM=2\cdot AD

Dar stim ca AM=\frac{BC}{2}

Deci obtinem \frac{BC}{2}=2\cdot AD\Rightarrow AD=\frac{BC}{2}

In concluzie, este important sa intelegem Congruenta triunghiurilor, dar si teoremele despre care am amintit mai sus, deoarece acestea constituie notiuni elementare pentru studiul din anul viitor.

NOTA! Articolul acesta este doar o mica parte din acest curs de pregatire, pe care il puteti incepe chiar azi.

Regula de trei simpla

Pana acum am invatat notiunile de raport, proportie, marimi direct proportionale, dar si marimi invers proportionale.

Astfel cu ajutorul acestor notiuni putem rezolva probleme ce contin cele doua marimi direct sau invers proportionale. Acestea pot fi rezolvate folosind o schema bazata pe proprietatile acestor marimi numita regula de trei simpla.

Pentru a aplica aceasta metoda trebuie sa avem in vedere urmatoarele doua proprietati:

– daca doua marimi sunt direct proportionale atunci raportul a doua valori ale uneia dintre ele este egal cu raportul valorilor corespunzatoare ale celeilalte valori.

–  daca doua marimi sunt invers proportionale, atunci raportul a doua valori ale uneia dintre ele este egal cu inversul raportului valorilor corespunzatoare  celeilalte valori.

Regula de trei simpla pentru marimi direct proportionale:

Exemplu:

1. Daca din 20 Kg de caise se fac 12 Kg de dulceata, cate kilograme de dulceata se fac din 25 Kg de caise?

Solutie:

Cantitatea de caise si cea de dulceata obtinuta sunt marimi direct proportionale.

Notam cu x cantitatea de dulceata si asezam datele problemei astfel:

20 Kg caise……………………………12 Kg dulceata

25 Kg caise ……………………………x Kg dulceata

Astfel obtinem proportia: \frac{20}{25}=\frac{12}{x}\Rightarrow x=\frac{12\cdot 25}{20}=\frac{3\cdot 5}{1}=15

Deci am obtinut 15 Kg de dulceata.

Astfel etapele pe care trebuie sa le parcurgem in rezolvarea problemelor pentru a aplica regula de trei simpla sunt:

– Asezam datele problemei intr-un tabel astfel incat valorile corespunzatoare aceleiasi marimi sa fie unele sub altele si valorile necunoscute sa ocupe ultimul loc din acel tabel.

– Marimile fiind direct proportionale, tabelul poate fi gandit ca o proportie.

Regula de trei simpla pentru marimi invers proportionale

Exemplu:

2. 10 muncitori sapa un sant lung de 120 m. Ce lungime va avea santul sapat de trei muncitori cu acelasi ritm de lucru?

Solutie:

Numarul de muncitori si lungimea santului sunt marimi invers proportioanle. Notam cu x lungimea santului necunoscut si asezam datele problemei astfel:

10 muncitori……………………….120 m

3 muncitori………………………..x m

Cum sunt marimi invers proportionale obtinem:

\frac{3}{10}=\frac{x}{120}\Rightarrow

x=\frac{120\cdot 3}{10}\Rightarrow

x=\frac{360}{10}=36

Deci trei muncitori sapa 36 m.

Etapele rezolvarii sunt:

– Asezam datele problemei intr-un tabel astfel incat valorile corespunzatoare aceleiasi marimi sa fie unele sub altele si valorile necunoscute sa ocupe ultimul loc din acel tabel.

– Marimile fiind invers proportionale, tabelul poate fi gandit ca o proportie, produsul valorilor corespunzatoare din cele doua marimi este constant.

Aplicatii:

20 muncitori termina o lucrare in 15 zile.

a) In cate zile termina lucrarea 15 muncitori?

b) Cati muncitori ar termina lucrarea in 10 zile?

Solutie:

a) Numarul de muncitori si numarul de zile sunt marimi invers proportionale. Notam cu x numarul de zile necunoscute si asezam datele problemei astfel:

20 muncitori………………………….15 zile

15 muncitori…………………………..x zile

Astfel obtinem proportia: \frac{20}{15}=\frac{x}{15}\Rightarrow x=\frac{15\cdot 20}{15}\Rightarrow x=20

Deci 15 muncitori termina lucrarea in 20 de zile.

b)  Numarul de muncitori si numarul de zile sunt marimi invers proportionale. Notam cu x numarul de muncitori si asezam datele problemei astfel:

20 muncitori……………………………..15 zile

x muncitori………………………………10 zile

Astfel obtinem proportia: \frac{x}{20}=\frac{15}{10}\Rightarrow x=\frac{20\cdot 15}{10}\Rightarrow x=\frac{2\cdot 15}{1}=30

Astfel, 30 de muncitori termina lucrarea in 10 zile.


Acest articol este doar o mica parte a unui curs de pregatire complex. Continuarea o gasesti in acest curs online !

 

Problema rezolvata. Simetricul unui punct fata de o dreapta

Sa vedem o problema rezolvata cu Simetricul unui punct fata de o dreapta.

1) Fie ABC in triunghi dreptunghic cu m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, si M simetricul punctului A fata de mijlocul ipotenuzei \left[BC\right]. Determinati ca ABMC e dreptunghi.

Demonstratie:

Simetricul unui punct fata de o dreapta

Notam cu O mijlocul ipotenuzei BC, astfel construim simetricul punctului A, fata de mijlocul ipotenuzei BC si formam patrulaterul ABMC, dar observam si ca:

BM||AC

AB||MC

Obtinem astfel ca ABMC este paralelogram.

Din simetricul punctului A fata de mijlocul ipotenuzei stim ca
AO=OM, dar mai stim si ca AO este mediana in triunghiul dreptunghic ABC si cu teorema Medianei gasim ca: AO=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2\cdot AO

Dar mai stim si ca O este mijlocul ipotenuzei BC, si astfel gasim
BO=OC

Dar si BO=OC=AO

Stim si ca AO=OM, astfel obtinem ca AO+OM=2AO=BC,deci gasim ca BC=AM

Mai gasim ca BO=OC=AO=OM.

Deci obtinem ca AM=BC.

Cum diagonalele sunt congruente, rezulta ca ABMC dreptunghi.

Multime. Element. Relatia de apartenenta

Dupa ce am invatat ecuatiile si inecuatiile si am invatat sa scriem solutia unei ecuatii sau a unei inecuatii, acum o sa invatam notiunea multime, notiunea de element, dar si relatia de apartenenta.

Astfel: O multime este o colectie de obiecte bine determinate si distincte numite elementele multimii.

Multimea se noteaza cu literele mari ale alfabetului, iar elemetele multimii se noteaza cu literele mici ale alfabetului.

Astfel, daca A este o multime si ”x” un element al multimii A, atunci scriem x\in A si vom citi  x apartine multimii A. 

Daca x nu este un element al multimii A, atunci scriem x\notin A  si citim x nu apartine multimii A.

O multime poate fi reprezentata in trei moduri:

– numind fiecare element al multimii, astfel in acest caz  multimea se scrie punand intre acolade elementele multimii.

Ex:  A={1,2,3,4 }   si citim multimea A are elementele 1,2,3,4

-cu ajutorul diagramei Venn-Euler, multimea poate fi reprezentata desenand o curba inchisa si scriind in interiorul ei elementele multimii.

Ex:

Cum pot fi reptrezentate multimile
– enuntand o proprietate caracteristica elementelor multimii (adica o proprietate care are orice element al multimii si nu are niciun alt element care nu apartine multimii).

Exemplu: A={x| x este un numar par si   x<10}

Si astfel putem scrie ca elementele multimii sunt A=\left\{0,2,4,6,8\right\}, ca sa scriem corect elementele multimii trebuie sa tinem cont de ambele conditii ale multimii.

Observatie: Multimea care nu are nici un element se numeste multimea vida si se noteaza \oslash.

Multimea care are ca elemente toate numerele naturale se numeste multimea numerelor naturale si se noteaza N , astfel N=\left\{0,1,2,3,.....\right\}

Multimea care are ca elemente toate numerele naturale mai putin elementul 0 se numeste multimea numerelor naturale fara zero si se noteaza N^{*}=N-\left\{0\right\}=\left\{1,2,3,...\right\}.

Prezentam exercitii astfel incat sa intelegem ce am spus mai sus:

1) Determinati elementele multimilor: A=\left\{x|x\in N, x+3<7\right\}    \\B=\left\{x|x\in N^{*}, 2^{3}-5>x\;\; si \;\; x\leq 3^{3}-2\right\}

Astfel incepem cu multimea A. Ca sa gasim elementele multimii A trebuie sa rezolvam inecuatia x+3<7 deci:  x+3<7\Rightarrow x<7-3\Rightarrow x<4

Deci \in \left\{0,1,2,3\right\}

Si elementele multimii A sunt A=\left\{0,1,2,3\right\}

Acum, ca sa aflam elementele multimii B, rezolvam inecuatiile, dar si tinem cont de faptul ca \in N^{*}, adica ia elementele multimii numerelor naturale mai putin elementul 0.

Ca sa aflam elementele trebuie sa rezolvam si cele doua inecuatii astfel:

-Prima inecuatie: 2^{3}-5>x\Rightarrow 8-5>x\Rightarrow 3>x, deci x\in \left\{0,1,2\right\}

-Rezolvam si cea de-a doua inecuatie: x\leq 3^{3}-2\Rightarrow x\leq 27-2\Rightarrow x\leq 25 si astfel x\in \left\{1,2,3,4,.., 25\right\}

Si acum tinand cont de toate cele trei conditii obtinem: B=\left\{1,2\right\}, deoarece tinem cont ca x sa ia valorile multimii numerelor naturale fara 0, dar si cele doua inecuatii si astfel obtinem multimea B ca mai sus.

Deci e foarte important cand enuntam elementele unei multimi sa tinem cont de toate conditiile care le ofera multimea.

 

Exercitii rezolvate cu media aritmetica ponderata

Cateva exercitii care se rezolva cu media aritmetica ponderata.

1. Calculati media ponderata a numerelor :

a) 2 si 3 cu ponderile 2 si 8;

Solutie: m_{a_{p}}=\frac{2\cdot 2+3\cdot 8}{2+8}=\frac{4+24}{10}=\frac{28}{10}=2,8

Ca sa intelegem trebuie sa ne reamintim definitia mediei aritmetice ponderate.

Media aritmetica ponderata a numerelor a_{1}, a_{2},..., a_{n} cu ponderile p_{1}, p_{2},...,p_{2} este egala cu raportul dintre suma dintre produsul  fiecarui numar cu fiecare pondere si suma ponderilor m_{a_{p}}=\frac{a_{1}\cdot p_{1}+a_{2}\cdot p_{2}+...+a_{n}\cdot p_{n}}{p_{1}+p_{2}+...+p_{n}}

 

b) 1/2 si 1/3 cu ponderile 4 si 6;

Solutie: m_{a_{p}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 4^{(2}+\frac{1}{3}\cdot 6^{(3}}{4+6}=\frac{\frac{1}{1}\cdot 2+\frac{1}{1}\cdot 2}{10}=\frac{2+2}{10}=\frac{4}{10}=0,4

Observati ca mai sus am simplificat fiecare fractie cu un numar natural iar apoi am efectuat inmultirile corespunzatoare.

c) 3/20;1/5;1 si 3 cu ponderile 4;2;3 si 5.

Solutie: m_{a_{p}}=\frac{\frac{3}{20}\cdot 4^{(4}+\frac{1}{5}\cdot 2+1\cdot 3+3\cdot 5}{4+2+3+5}=\frac{\frac{3}{5}\cdot 1+\frac{2}{5}+3+15}{14}=\frac{\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+18}{14}=\frac{\frac{3+2}{5}+18}{14}=\frac{\frac{5}{5}+18}{14}=\frac{1+18}{14}=\frac{19}{14}

Calculati media ponderata a numerelor:

a) 1,(3) si 3 1/3 ,cu ponderile 3 si respectiv 6;

Solutie: Inainte de a calcula media aritmetica ponderata a numerelor, mai intai transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si astfel avem: 1,(3)=\frac{13-1}{9}=\frac{12}{9}^{(3}=\frac{4}{3}

Dar intoducem si intregii in fractie, adica 3\frac{1}{3}=\frac{3\cdot 3+1}{3}=\frac{10}{3}

Iar acum calculand media aritmetica ponderata m_{a_{p}}=\frac{\frac{4}{3}\cdot 3+\frac{10}{3}\cdot 6}{3+6}=\frac{\frac{12}{3}+\frac{60}{3}}{9}=\frac{\frac{72}{3}^{(3}}{9}=\frac{24}{9}^{(3}=\frac{8}{3}

b) 1/2;1,3(8) si 0,(3) cu ponderile 1,9 si respectiv 6.

Solutie: La fel ma si mai sus mai intai transformam fractiile zecimale periodice in fractii ordinare si astfel avem: 1,3(8)=\frac{138-13}{90}=\frac{125}{90}^{(5}=\frac{25}{18}

Putem sa transformam fractia zecimala de mai sus si astfel 1,3(8)=1\frac{38-3}{90}=1\frac{35}{90}=\frac{1\cdot 90+35}{90}=\frac{90+35}{90}=\frac{125}{90}^{(5}=\frac{25}{18}

Acum transformam urmatoarea fractie zecimala periodica simpla 0,(3)=\frac{3}{9}^{(3}=\frac{1}{3}

Acum ca am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare putem calcula media aritmetica ponderata m_{a_{p}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 1+1,3(8)\cdot 9+0,(3)\cdot 6}{1+9+6}=

\frac{\frac{1}{2}+\frac{25}{18}\cdot 9^{(9}+\frac{1}{3}\cdot 6^{(3}}{16}=

\frac{\frac{1}{2}+\frac{25}{2}+\frac{1}{1}\cdot 2}{16}=

\frac{\frac{1+25}{2}+2}{16}=

\frac{\frac{26}{2}+2}{16}=\frac{13+2}{16}=\frac{15}{16}

Dar important e sa ne reamintim si definitia pentru media aritmetica, adica:

Media aritmetica a numerelor a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} este egala cu  suma numerelor impartite la numarul numerelor.

m_{a} se noteaza media aritmetica a numerelor si este egala m_{a}=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}