Amplificarea si simplificarea fractiilor. Sir de fractii egale. Numar rational pozitiv

Dupa ce am definit notiunea de fractie in cursul FRACTII ORDINARE, acum a venit timpul sa discutam despre Amplificarea si simplificarea fractiilor cat si sa definim notiunea de numar rational pozitiv.

Amplificarea si simplificarea fractiilor

Incepem cu amplificarea fractiilor

A amplifica o fractie \frac{a}{b} cu un numar natural nenul n inseamna a inmulti atat numitorul cat si numaratorul fractiei cu  acelasi numar n.

Prin amplificare se obtine o fractie egala cu cea data.

Notam: ^{n)}\frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n}

Simplificarea fractiilor

A simplifica o fractie \frac{a}{b} cu un numar natural nenul n inseamna a imparti atat numitorul cat si numaratorul fractiei cu acelasi numar n.

Notam: \frac{a}{b}^{(n}=\frac{a:n}{b:n}

Definitie: Un sir de fractii egale reprezinta acelasi numar deoarece reprezentarile lor sunt echivalente. Acest numar se numeste numar rational.

Numerele rationale se reprezinta prin fractii. Oricare doua fractii egale reprezinta acelasi numar rational.

Exercitii:

1) Aflati cu ce numere trebuie amplificate fiecare din urmatoarele fractii astfel incat sa obtinem de fiecare data fractii cu numitorul 48: \frac{1}{2}; \frac{5}{3}; \frac{7}{6}; \frac{19}{12}; \frac{11}{16}; \frac{17}{24}

Incepem cu prima fractie

^{24)}\frac{1}{2}=\frac{24\cdot 1}{24\cdot 2}=\frac{24}{48}

Observam ca daca amplificam fractia cu 24 obtinem o fractie cu numitorul 48. Trebuie sa fim atenti la numitorul fiecarei fractii, ca sa gasim mai repede numarul cu care amplificam. Daca impartim 48 la numitorul fractiei 2 obtinem 24, deci cu 24 amplificam cu 24.

^{8)}\frac{7}{6}=\frac{8\cdot 7}{8\cdot 6}=\frac{56}{48}

Observam ca daca impartim pe 48 la numitorul 6 obtinem catul 8, adica numarul cu care trebuie sa amplificam fractia

^{4)}\frac{19}{12}=\frac{4\cdot 19}{4\cdot 12}=\frac{76}{48}, deci am amplificat fractia cu 4 prin aceeasi metoda.

^{3)}\frac{11}{16}=\frac{3\cdot 11}{3\cdot 16}=\frac{33}{48}, am amplificat fractia cu numarul natural 3.

^{2)}\frac{17}{24}=\frac{2\cdot 17}{2\cdot 24}=\frac{ 34}{48}, am amplificat fractia cu 2.

Observatie: O fractie se numeste ireductibila  daca nu se mai poate simplifica.

2) Simplificati fractiile, obtinand fractii ireeductibile: \frac{20}{30}^{(10}=\frac{20:10}{30:10}=\frac{2}{3}.

Ca sa ne dam seama prin ce numar se simplifica fractiile folosim criteriile de divizibilitate. Astfel, in acest caz am folosit criteriul de divizibilitate cu 10.

\frac{250}{350}^{(10}=\frac{250:10}{350:10}=\frac{25}{35}^{(5}=\frac{25:5}{35:5}=\frac{5}{7}.

Am simplificat fractia atat prin 10, dar si prin 5, deci am folosit atat criteriul de divizibilitate cu 10 dar si criteriul de divizibilitate cu 5.

\frac{1716}{4290}^{(2}=\frac{1716:2}{4290:2}=\frac{858}{2145}^{(3}=\frac{858:3}{2145:3}=\frac{286}{715}^{(11}=\frac{286:11}{715:11}=\frac{26}{65}^{(13}=\frac{26:13}{65:13}=\frac{2}{5}

Observam ca la acest exercitiu am folosit criteriul de divizibilitate cu 2, 3, 11 si 13.

Important ! La simplificare trebuie se imparta atat numaratorul cat si numitorul cu acelasi numar.

 

Cum aratam daca un numar este patrat perfect sau nu

Cum aratam daca un numar este patrat perfect  sau nu?

Sa rezolvam cateva exercitii astfel incat sa intelegem.

1) Stabiliti daca numarul 3^{83}+8^{68} este patrat perfect.

Solutie: Ca sa stabilim daca numarul este patrat perfect sau nu, calculam ultima cifra a numarului de mai sus, astfel avem: U\left(3^{83}+8^{86}\right)=U\left(U\left(3^{83}\right)+U\left(8^{68}\right)\right)=U\left(3^{3}+8^{0}\right)=U\left(27+1\right)=U\left(28\right)=8

Ca sa aflam ultima cifra a numarului 3 la puterea 83, am impartit pe 83 la 4 si am luat 3 la puterea restului pe care l-am obtinut, adica 3 la puterea a 3.

Asemenea am facut si pentru cel  de-al doilea numar, 8  la puterea 68. Am impartit 86 la 4 si am obtinut restul 0. Deci obtinem 8 la puterea 0.

Apoi am efectuat ridicarea la putere a numerelor, am efectuat  operatia de adunare, iar apoi am calculat ultima cifra a sumei celor doua numere.

Obtinem ca ultima cifra a numarului este 8 si gasim ca numarul nu este patrat perfect

Pentru ca un  numar sa fie patrat perfect trebuie sa gasim ca ultima cifra este 0, 1, 4, 5, 6, 9.

a) 3^{82}+3^{83}+3^{84}

Solutie: Asemenea cum am facut la primul exercitiu, calculam ultima cifra a numarului de mai sus, astfel U\left(3^{82}+3^{83}+3^{84}\right)=

U\left(U\left(3^{82}\right)+U\left(3^{83}\right)+U\left(3^{84}\right)\right)=

U\left(3^{2}+3^{3}+3^{4}\right)=U\left(9+27+81\right)=U\left(117\right)=7

Si astfel gasim ca numarul nu este patrat perfect.

Compararea si ordonarea fractiilor zecimale. Reprezentarea pe axa numerelor

Dupa ce am invatat sa aproximam fractiile zecimale la ordinul zecimilor si sutimilor, a venit vremea sa discutam despre compararea si ordonarea fractiilor zecimale, reprezentarea pe axa numerelor a fractiilor zecimale.

Astfel, pentru a compara doua fractii zecimale,  incepem cu un exemplu:

Exemplu : a=3,17    \\b=4,21    \\ a<b

Regula de comparare a fractiilor zecimale

-incepem mai intai cu partile  intregi (adica comparam intregii),  iar daca acestia sunt egali, continuam cu compararea partilor zecimale  de la stanga la dreapta, adica zecimile, sutimile si miimile  celor doua fractii zecimale.

Observam ca la exemplul de mai sus 3<4, adica partea intreaga a primului numar este mai mica decat partea intreaga a celui de-al doilea numar si astfel nu mai comparam partile zecimale.

b) a=24,156    \\b=24,151

Observam ca partile intregi sunt egale. Acum incepem prin a compara partile zecimale. Observam ca zecimile si sutimile celor doua numere sunt egale iar miimile sunt diferite, adica 6>1, deci numarul a mai mare decat numarul b

2) Ordonati crescator numerele

a) \frac{1}{2}; 0,55; \frac{3}{4}; 0,8; 0,59; 0,49

Ca sa comparam numerele de mai sus trebuie sa scriem fractiile ordinare cu numitori puteri ale lui 10 si apoi sa le scriem sub forma de fractii zecimale, astfel incepem cu : ^{5)}\frac{1}{2}=\frac{5\cdot 1}{5\cdot 2}=\frac{5}{10}=0,5

Apoi luam urmatoarea fractie ordinara, adica ^{25)}\frac{3}{4}=\frac{25\cdot 3}{25\cdot 4}=\frac{75}{100}=0,75

Astfel am obtinut sirul de numere: 0,5; 0,55; 0,75; 0,8; 0,59; 0,49

Acum ordonam crescator numerele : 0,49; 0,5; 0,55; 0,59; 0,75; 0,8

b) \frac{7}{4}; 1,69; 1,7; 1,77; 1,707; 1,8; 1,6

Prima data transformam fractia ordinara in fractie zecimala: ^{25)}\frac{7}{4}=\frac{25\cdot 7}{24\cdot 4}=\frac{175}{100}=1,75

Astfel obtinem sirul de numere zecimale:1,75;1,69; 1,7; 1,77; 1,707; 1,8; 1,6

Acum, ca sa le ordonam crescato,r incepem de la cel mai mic la cel mai mare: 1,6; 1,69; 1,7; 1,707; 1,75; 1,77; 1,8

Observati ca prima data trebuie sa comparam partile intregi, iar apoi partile zecimale. Adica incepem cu zecimile, 6 fiind cea mai mica zecime si astfel obtinem si ca 1,6 este cel mai mic numar.

Atentie! Avem numerele 1,7 si 1,707, obsevam ca 1,7 este mai mic decat 1,707 , deoarece la numarul 1,7 la partea zecimala urmeaza doar zerouri, adica 1,70000, pe cand la celalalt numar 1,707, miimea de la primul numar este mai mica decat miimea de la cel de-al doilea numar 0<7.

3) Scrieti trei fractii zecimale situate intre 6 si 6,1.

Solutie !Astfel intre 6 si 6,1, avem uramtoarele fractii zecimale: 6,01; 6,02; 6,03;…;6,09.
Deci am gasit 9 fractii zecimale cuprinse intre 6 si 6,1.

4) Reprezentati pe axa numerele A\left(3,9\right); B\left(3\frac{4}{10}\right); C\left(\frac{36}{10}\right); D\left(3,7\right)

Solutie ! Mai intai transformam fractiile ordinare in fractii zecimale: 3\frac{4}{10}=\frac{3\cdot 10+4}{10}=\frac{34}{10}=3,4  \\\frac{36}{10}=3,6

Astfel obtinem: A\left(3,9\right); B\left(3,4\right); C\left(3,6\right); D\left(3,7\right)

Acum reprezentam fractiile zecimale pe axa numerelor:

Reprezentarea pe axa numerelor a fractiilor zecimale

Ridicarea la putere cu exponent natural a unui numar natural. Reguli de calcul cu puteri

Reguli de calcul cu puteri

Pana acum am invatat cum sa adunam, cum sa scadem, cum sa inmultim si cum sa impartim doua sau mai multe numere naturale. Astazi o sa invatam ridicarea la putere cu exponent natural a unui numar natural, adica reguli de calcul cu puteri.

Incepem printr-un exemplu. Astfel, daca avem sa calculam:  2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32

Asta stim inca din clasele mai mici. Dar acum invatam ca inmultirea lui 2 cu el insusi de mai multe ori putem sa scriem in felul urmator 2^{5}=32

Operatia prin care se obtine puterea unui numar natural se numeste ridicarea la putere.Astfel a^{m}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{m\;\; ori} unde a se numeste baza si m este exponentul.

Foarte important ! Trebuie sa invatati regulile urmatoare ca sa putem rezolva exercitiile de acest gen:

Reguli de calcul cu puteri:

1) a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} (Cand avem aceeasi baza copiem baza si adunam exponentii)

2) a^{m}:a^{n}=a^{m-n} (Cand avem aceeasi baza copiem baza si scadem exponentii cu m\geq n)

3) \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n} (se inmultesc exponentii intre ei)

4) \left(a\cdot b\right)^{m}=a^{m}\cdot b^{n} (cand nu avem aceeasi baza, dar avem acelasi exponent, copiem exponentul si inmultim bazele)

5) \left(a:b\right)^{m}=a^{m}:b^{n} (cand nu avem aceeasi baza, dar avem acelasi exponent, copiem exponentul si impartim bazele)

6) a^{0}=1 (orice numar la puterea 0 este egal cu 1)

7) 1^{n}=1 (1 la orice putere este tot 1)

0^{0} nu are sens

Oricare ar fi numerele naturale a,b,m,n,a\neq 0.

Acum sa rezolvam exercitii de acest gen, ca sa vedem cum ne ajuta regulile de calcul cu puteri:

1) Calculati:
 2^{17}\cdot2^{21}=2^{17+21}=2^{38}

Am folosit prima regula din cele pe care le-am enuntat mai sus, adica am copiat baza celor doua numere, baza fiind 2 si am adunat exponentii 21+17.

Rezultatul a fost 2^{38}, care inseamna 2^{38}=\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot...\cdot 2}_{38\;\;ori}, dar nu trebuie sa calculam tot numarul, tocmai din acest motiv folosim regulile de calcul cu puteri.

b)  3^{108}:\left(3^{15}\right)^{6}=3^{108}:3^{15\cdot 6}=3^{108}:3^{90}=3^{108-90}=3^{18}

La exercitiul de mai sus in partea a doua am folosit formula 3, adica am copiat baza 3 si am inmultit exponentii, adica 15\cdot 6, iar apoi dupa ce am efectuat acest lucru am observat ca avem operatia de impartire si astfel am folosit regula a 2, adica copiem baza 3 si scadem exponentii.

Adica 108-90 si astfel obtinem rezultatul. Rezultatul obtinut, daca este la o putere foarte mare, nu trebuie sa-l calculam.

c)  \left(16\cdot12^{10}-4\cdot 12^{10}\right):12^{11}=\left[12^{10}\left(16-4\right)\right]:12^{11}=12^{10}\left(16-4\right):12^{11}=12^{10}\cdot 12:12^{11}=12^{10+1}:12^{11}=12^{11}:12^{11}=12^{0}=1

La exercitiul c) am dat factor comun pe  12^{10}. Stiti ce inseamna sa dam factor comun, adica observam ce este comun in ambele parti ale exercitiului iar acel lucru il scoatem in fata.

In cazul nostru  12^{10}, iar apoi am copiat ce ne-a ramas, am efectuat calculele din paranteza rotunda ( observam ca am mai introdus o paranteza, adica am transformat-o pe cea rotunda in dreapta, dat fiind faptul ca am dat factor comun), adica diferenta si am obtinut rezultatul 12.

Apoi am folosit prima regula de calcul, adica am copiat baza si am adunat exponentii. Dupa ce am efectuat acest lucru am folosit a doua regula de calcul, adica am copiat baza si am scazut exponentii .

Rezultatul obtinut a fost 12^{0}, iar conform regulii 6 obtinem 1. Trebuie sa tinem cont ca 0^{0}, nu are sens.

Este important  sa invatam aceste reguli de calcul cu puteri pentru numere naturale si sa stim ca 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8 si nu 6, cum majoritatea dintre voi gresit credeti.

d) 2^{3^{4}}=2^{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=2^{81}

Observati ca atunci cand avem puterea unei puteri, ridicam mai intai primul exponent la prima putere (adica in cazul nostru pe 3)

e) \left(2^{3}\right)^{4}=2^{3\cdot 4}=2^{12}

Observati diferenta intre cele doua calcule, in primul caz avem 2^{3^{4}} care este diferit de \left(2^{3}\right)^{4}, in cel de-al doilea caz am folosit regula 3) mai sus enuntata. In primul caz putem spune ca avem regula a^{m^{n}}=a^{\underbrace{m\cdot m\cdot m\cdot ...\cdot m}_{n\;\;ori}}