Cum aratam daca un numar este patrat perfect sau nu

Cum aratam daca un numar este patrat perfect  sau nu?

Sa rezolvam cateva exercitii astfel incat sa intelegem.

1) Stabiliti daca numarul 3^{83}+8^{68} este patrat perfect.

Solutie: Ca sa stabilim daca numarul este patrat perfect sau nu, calculam ultima cifra a numarului de mai sus, astfel avem: U\left(3^{83}+8^{86}\right)=U\left(U\left(3^{83}\right)+U\left(8^{68}\right)\right)=U\left(3^{3}+8^{0}\right)=U\left(27+1\right)=U\left(28\right)=8

Ca sa aflam ultima cifra a numarului 3 la puterea 83, am impartit pe 83 la 4 si am luat 3 la puterea restului pe care l-am obtinut, adica 3 la puterea a 3.

Asemenea am facut si pentru cel  de-al doilea numar, 8  la puterea 68. Am impartit 86 la 4 si am obtinut restul 0. Deci obtinem 8 la puterea 0.

Apoi am efectuat ridicarea la putere a numerelor, am efectuat  operatia de adunare, iar apoi am calculat ultima cifra a sumei celor doua numere.

Obtinem ca ultima cifra a numarului este 8 si gasim ca numarul nu este patrat perfect

Pentru ca un  numar sa fie patrat perfect trebuie sa gasim ca ultima cifra este 0, 1, 4, 5, 6, 9.

a) 3^{82}+3^{83}+3^{84}

Solutie: Asemenea cum am facut la primul exercitiu, calculam ultima cifra a numarului de mai sus, astfel U\left(3^{82}+3^{83}+3^{84}\right)=

U\left(U\left(3^{82}\right)+U\left(3^{83}\right)+U\left(3^{84}\right)\right)=

U\left(3^{2}+3^{3}+3^{4}\right)=U\left(9+27+81\right)=U\left(117\right)=7

Si astfel gasim ca numarul nu este patrat perfect.