Probleme rezolvate. Congruenta triunghiurilor

Prezentam doua probleme cu ajutorul carora o sa ne reamintim notiunile pe care le-am invatat in clasa a 6-a.

Astfel, vom incepe cu o problema in care trebuie sa demonstram o egalitate intre segmente. Pentru aceasta vom folosi congruenta triunghiurilor.

Iar in cea de-a doua problema, la fel, trebuie sa demonstram o egalitate. Pentru aceasta vom folosi teorema Medianei, dar si Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, notiuni pe care le-am invatat in anul anterior.

Incepem prin a rezolva problema:

1) Fie triunghiul isoscel ABC, de baza BC, iar D\in \left(AB\right) si E\in\left(AC\right) astfel incat \left[BD\right]\equiv\left[CE\right]. Pe semidreptele [BE se ia un punct F astfel incat [AB]\equiv [AF], iar pe semidrepata [AF se ia punctul G astfel incat [AG]\equiv [AD]. Demonstrati ca BF=CD+CG.

Demonstratie:

problema rezolvata cu triunghiul dreptunghic
Astfel stim ca \left[AG\right]\equiv\left[AD\right](din ipoteza)

Dar stim si ca [AE]\equiv [AD] (deoarece triunghiu ABC isoscel si tot din ipoteza stim ca [BD]\equiv[CE]) deci [AE]\equiv [AD]si cu tranzitivitatea rezulta ca [AG]\equiv [AE]

Observam si ca \widehat{GAC}\equiv\widehat{FAC}

Stim din ipoteza ca [AB]\equiv [AF]

Dar cum triunghiul ABC isoscel stim si ca [AB]\equiv [AC]

Deci obtinem [AC]\equiv [AF]

Si astfel obtinem ca \Delta AGC\equiv\Delta AEF (cazul L.U.L)

Si astfel obtinem ca [GC]\equiv [EF]

Dupa cum am spus si mai sus, stim ca [AD]\equiv [AE]
[AB]\equiv[AC] (deoarece triunghiul ABC isoscel)

Dar si \widehat{DAC}\equiv\widehat{BAE}. Deci cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca \Delta ADC\equiv \Delta AEB si astfel obtinem ca [DC]\equiv [BE]

Observam din figura ca BF=BE+EF\Rightarrow BF=DC+CG

Deci am demonstrat ceea ce trebuia sa demonstram.

2) Fie triunghiul ABC dreptunghic in A si AD\perp BC, D\in \left(BC\right). Daca m\left(\widehat{C}\right)=15^{0}
aratati ca AD=\frac{BC}{4}

Demonstratie:
triunghiul dreptunghic

Fie M\in \left(BC\right), astfel incat [BM]\equiv[MC]

Astfel cu teorema Medianei obtinem ca AM=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{BC}{2}

Observam ca [AM]\equiv[BM], deci triunghiul ABM isoscel de baza AB, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, astfel m\left(\widehat{ABM}\right)=m\left(\widehat{BAM}\right)=75^{0}

Deci putem afla masura unghiului AMB
m\left(\widehat{MAB}\right)+m\left(\widehat{ABM}\right)+m\left(\widehat{BMA}\right)=180^{0}\Rightarrow 75^{0}+75^{0}+m\left(\widehat{BMA}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BMA}\right)=180^{0}-150^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{BMA}\right)=30^{0}

Deci in triunghiul ADM, dreptunghic in D, putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, astfel
AD=\frac{1}{2}\cdot AD=\frac{AM}{2}\rightarrow AM=2\cdot AD

Dar stim ca AM=\frac{BC}{2}

Deci obtinem \frac{BC}{2}=2\cdot AD\Rightarrow AD=\frac{BC}{2}

In concluzie, este important sa intelegem Congruenta triunghiurilor, dar si teoremele despre care am amintit mai sus, deoarece acestea constituie notiuni elementare pentru studiul din anul viitor.

NOTA! Articolul acesta este doar o mica parte din acest curs de pregatire, pe care il puteti incepe chiar azi.

Dreapta perpendiculara pe un plan. Distanta de la un punct la un plan

Dreapta perpendiculara pe un plan joaca un rol esential  pentru notiunile care vor fi introduse in acest an la geometrie.

Cu ajutorul dreptei perpendiculare pe un plan introducem si distanta de la un punct la un plan.

Astfel incepem prin a ne reamiti definitia a doua drepte perpendiculare in spatiu.

Doua drepte in spatiu (concurente sau necoplanare) sunt perpendiculare daca formeaza un unghi de 90^{0}

Definitie: Numim dreapta perpendiculara d pe un plan \alpha o dreapa d care este perpendiculara pe orice dreapta din plan, de exemplu a.

d\perp\alpha\Leftrightarrow d\perp a, \forall a\subset\alpha

Conditia ca o dreapta sa fie perpendiculara pe un plan.

Teorema: Daca o dreapta este perpendiculara pe doua drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculara pe plan.

Stim ca: d\perp a

Dar si d\perp b

Unde a,b\subset\alpha

a\cap b=\left\{O\right\}\Rightarrow

De unde obtinem ca: d\perp\alpha

dreapta perpendiculara pe un plan
Dar acum sa vedem cum calculam distanta de la un punct la un plan.

Definitie: Se numeste distanta de la un punct la un plan, lungimea segmentului care uneste punctul cu piciorul perpendicularei duse din acel punctul pe plan.
cum calculam distanta de la un punct la un plan
Lungimea segmentului de la un punct la un plan este cel mai scurt segment dintre toate segmentele care uneste punctul A cu punctele din planul \alpha
AP\perp\alpha\Leftrightarrow d\left(A,\alpha\right)=AP

Fiind data o piramida, distanta de la varful piramidei la planul bazei se numeste inaltimea piramidei.

Fiind dat un tetraedru, distanta de la un varf al tetraedrului la o fata opusa se numeste inaltimea tetraedrului.

Aplicatii: 

1. Se considera prisma triunghiulara ABCA’B’C’ cu muchia bazei AB=10 cm. Calculati distanta de la punctul C la planul (ABB’)

Demonstratie:

cum calculam distanta de la un punct la un plan

Observam ca triunghiul ABC este echilateral, deci stim ca CD\perp AB

Dar observam de asemenea ca AB\subset\left(ABB'\right)  si cu definitia dreptei perpendiculare pe un plan obtinem ca CD\perp\left(ABB'\right)

Deci obtinem ca: CD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\;\; cm

Obtinem ca d\left(C,\left(ABB'\right)\right)=CD=5\sqrt{3}\;\; cm

2. Fie dreptunghiul ABCD cu AB=8 cm  si BC=6 cm si un punct E, astfel incat EA\perp\left(ABC\right). Determinati:

a) d(E,(ABC))

b) d\left(C, (EAB)\right)

c) d\left(B,(EAD)\right)

Demonstratie:

Mai intai construim dreptunghiul ABCD, astfel avem:

reapta perpendiculata pe un plan

Dar la punctul a) Avem sa calculam distanta de la punctul A la planul (ABC), astfel obtinem:

dreapta perpendiculara pe un plan

Observam ca EA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow EA\perp AB

Cum stim ca EA\perp AB, gasim ca distnanta de la punctul E la planul ABC este lungimea segmentului EA=6 cm

Dupa cum stim si din informatiile de mai sus, distanta de la un punct la un plan este segmentul cu cea mai scurta lungime.

b) d\left(C, (EAB)\right)=?

dreapta perpendiculara pe un plan

 

Triunghiul ABC este dreptunghic in B. Astfel observam ca CB\perp AB

Dar AB\subset\left(EAB\right)

Deci obtinem ca CB\perp\left(EAB\right)

Si astfel avem ca d\left(C,(EAB)\right)=CB=6\;\; cm

c) \left(B,(EAD)\right)=?

Stim ca EA\perp (ABC), deci avem ca EA\perp AB dar si ca BA\perp EA

Fie CE\perp AB

Dar stim si ca BA\perp AD, deoarece ABCD este dreptunghi, de unde gasim si ca d\left(B,(EAD)\right)=BA=AB=8 cm

3. Fie tetraedrul ABCD astfel incat AB=BC=4 cm, BD=2 cm, AC=4\sqrt{2}\;\; cm si AD=2\sqrt{5}\;\; cm. Demonstrati ca AB\perp\left(BCD\right).

Demonstratie:

dreapta perpendiculara pe un plan
In triunghiul ABC, observam ca AB=BC=4 cm, deci triunghiul ABC este isoscel de baza AB, dar mai observam si ca AC=4\sqrt{2}

Si daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\Rightarrow 32=16+16

Deci triunghiul ABC este dreptunghic in B, adica AB\perp BC.

Iar in triunghiul ABD, observam ca AB=4 cm si BD=2 cm, iar AD=2\sqrt{5}

Iar la fel, daca aplicam reciproca lui Pitagora obtinem: AB^{2}+BD^{2}=AD^{2}

Ca si triunghiul ABD este dreptunghic in D, adica AB\perp BD. Dar stim ca: AB\perp BC

De unde obtinem ca AB\perp\left(BCD\right)

Teorema celor trei perpendiculare. Reciproca.

Definim prima Teorema celor trei perpendiculare

Teorema: Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan \alpha si prin piciorul ei trece o dreapta a, continuta in plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta b continuta in plan, atunci o dreapta c care uneste orice punct M al dreptei d cu intersectia P a celor doua drepte a si b, este perpendiculara pe cea de-a treia latura.

Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

d\perp\alpha    \\a\subset\alpha, O\in a

a\perp b, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in D

\Rightarrow MP\perp b

 Reciprocele teoremei  celor trei perpendiculare

R.T.3\perp 1

Cum aplicam prima reciproca a celor trei perpendiculare

 

d\perp \alpha, d\cap\alpha=\left\{O\right\}    a\subset\alpha, O\in a, b\subset\alpha , a\cap b=\left\{P\right\},    M\in d, MP\perp b\Rightarrow a\perp b

R.T.3\perp 2

Cum aplicam Reciproca a doua a celor trei perpendiculare

d\perp a, d\cap a=\left\{O\right\}, a\subset\alpha

a\perp b, a, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in dMP\perp b\Rightarrow d\perp \alpha

Rezolvam probleme in care aplicam teorema celor trei perpendiculare !

1) Fie VABC o piramida triunghiulara regulata cu inaltimea VO= 8cm si apotema VM=10 cm. Calculati distanta de la O la planul unei fete.
Demonstratie:
distanta de la un punct la un plan
Astfel calculam distanta de la O la planul fetei VBC

Construim mai intai ON\perp VM, unde observam ca n\in (VM)

Cum M este mijlocul lui BC si N=pr_{VM}O

Astfel avem ca ON\perp VM, VM\perp BC,OM\perp BC, ON\subset\left(VOM\right) si VM\subset\left(VBC\right) obtinem conform Reciprocei a doua a celor trei perpendiculare ca ON\perp (VBC)

Astfel ca d\left(O,(VBC)\right)=ON

Cum Triunghiul VOM este dreptunghic in O, obtinem cu Teorema inaltimii ca ON=\frac{OM\cdot OV}{VM}

Stim ca OM este apotema bazei adica cu teorema lui Pitagora in triunghiul drptunghic VOM obtinem OM^{2}=VM^{2}-VO^{2}\Rightarrow OM^{2}=10^{2}-8^{2}\Rightarrow OM^{2}=100-64\Rightarrow OM=\sqrt{36}=6 cm
distanta de la un punct la un plan
2. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub cu latura de 12 cm.

Calculati:

a) d(A,BD')

b) m\left(\widehat{AB', (BDD')}\right)

Demonstratie:

…………………………….


Acest articol este doar o mica parte din acest curs online de pregatire matematica.

Regula de trei simpla

Pana acum am invatat notiunile de raport, proportie, marimi direct proportionale, dar si marimi invers proportionale.

Astfel cu ajutorul acestor notiuni putem rezolva probleme ce contin cele doua marimi direct sau invers proportionale. Acestea pot fi rezolvate folosind o schema bazata pe proprietatile acestor marimi numita regula de trei simpla.

Pentru a aplica aceasta metoda trebuie sa avem in vedere urmatoarele doua proprietati:

– daca doua marimi sunt direct proportionale atunci raportul a doua valori ale uneia dintre ele este egal cu raportul valorilor corespunzatoare ale celeilalte valori.

–  daca doua marimi sunt invers proportionale, atunci raportul a doua valori ale uneia dintre ele este egal cu inversul raportului valorilor corespunzatoare  celeilalte valori.

Regula de trei simpla pentru marimi direct proportionale:

Exemplu:

1. Daca din 20 Kg de caise se fac 12 Kg de dulceata, cate kilograme de dulceata se fac din 25 Kg de caise?

Solutie:

Cantitatea de caise si cea de dulceata obtinuta sunt marimi direct proportionale.

Notam cu x cantitatea de dulceata si asezam datele problemei astfel:

20 Kg caise……………………………12 Kg dulceata

25 Kg caise ……………………………x Kg dulceata

Astfel obtinem proportia: \frac{20}{25}=\frac{12}{x}\Rightarrow x=\frac{12\cdot 25}{20}=\frac{3\cdot 5}{1}=15

Deci am obtinut 15 Kg de dulceata.

Astfel etapele pe care trebuie sa le parcurgem in rezolvarea problemelor pentru a aplica regula de trei simpla sunt:

– Asezam datele problemei intr-un tabel astfel incat valorile corespunzatoare aceleiasi marimi sa fie unele sub altele si valorile necunoscute sa ocupe ultimul loc din acel tabel.

– Marimile fiind direct proportionale, tabelul poate fi gandit ca o proportie.

Regula de trei simpla pentru marimi invers proportionale

Exemplu:

2. 10 muncitori sapa un sant lung de 120 m. Ce lungime va avea santul sapat de trei muncitori cu acelasi ritm de lucru?

Solutie:

Numarul de muncitori si lungimea santului sunt marimi invers proportioanle. Notam cu x lungimea santului necunoscut si asezam datele problemei astfel:

10 muncitori……………………….120 m

3 muncitori………………………..x m

Cum sunt marimi invers proportionale obtinem:

\frac{3}{10}=\frac{x}{120}\Rightarrow

x=\frac{120\cdot 3}{10}\Rightarrow

x=\frac{360}{10}=36

Deci trei muncitori sapa 36 m.

Etapele rezolvarii sunt:

– Asezam datele problemei intr-un tabel astfel incat valorile corespunzatoare aceleiasi marimi sa fie unele sub altele si valorile necunoscute sa ocupe ultimul loc din acel tabel.

– Marimile fiind invers proportionale, tabelul poate fi gandit ca o proportie, produsul valorilor corespunzatoare din cele doua marimi este constant.

Aplicatii:

20 muncitori termina o lucrare in 15 zile.

a) In cate zile termina lucrarea 15 muncitori?

b) Cati muncitori ar termina lucrarea in 10 zile?

Solutie:

a) Numarul de muncitori si numarul de zile sunt marimi invers proportionale. Notam cu x numarul de zile necunoscute si asezam datele problemei astfel:

20 muncitori………………………….15 zile

15 muncitori…………………………..x zile

Astfel obtinem proportia: \frac{20}{15}=\frac{x}{15}\Rightarrow x=\frac{15\cdot 20}{15}\Rightarrow x=20

Deci 15 muncitori termina lucrarea in 20 de zile.

b)  Numarul de muncitori si numarul de zile sunt marimi invers proportionale. Notam cu x numarul de muncitori si asezam datele problemei astfel:

20 muncitori……………………………..15 zile

x muncitori………………………………10 zile

Astfel obtinem proportia: \frac{x}{20}=\frac{15}{10}\Rightarrow x=\frac{20\cdot 15}{10}\Rightarrow x=\frac{2\cdot 15}{1}=30

Astfel, 30 de muncitori termina lucrarea in 10 zile.


Acest articol este doar o mica parte a unui curs de pregatire complex. Continuarea o gasesti in acest curs online !

 

Problema rezolvata. Simetricul unui punct fata de o dreapta

Sa vedem o problema rezolvata cu Simetricul unui punct fata de o dreapta.

1) Fie ABC in triunghi dreptunghic cu m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, si M simetricul punctului A fata de mijlocul ipotenuzei \left[BC\right]. Determinati ca ABMC e dreptunghi.

Demonstratie:

Simetricul unui punct fata de o dreapta

Notam cu O mijlocul ipotenuzei BC, astfel construim simetricul punctului A, fata de mijlocul ipotenuzei BC si formam patrulaterul ABMC, dar observam si ca:

BM||AC

AB||MC

Obtinem astfel ca ABMC este paralelogram.

Din simetricul punctului A fata de mijlocul ipotenuzei stim ca
AO=OM, dar mai stim si ca AO este mediana in triunghiul dreptunghic ABC si cu teorema Medianei gasim ca: AO=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2\cdot AO

Dar mai stim si ca O este mijlocul ipotenuzei BC, si astfel gasim
BO=OC

Dar si BO=OC=AO

Stim si ca AO=OM, astfel obtinem ca AO+OM=2AO=BC,deci gasim ca BC=AM

Mai gasim ca BO=OC=AO=OM.

Deci obtinem ca AM=BC.

Cum diagonalele sunt congruente, rezulta ca ABMC dreptunghi.

Multime. Element. Relatia de apartenenta

Dupa ce am invatat ecuatiile si inecuatiile si am invatat sa scriem solutia unei ecuatii sau a unei inecuatii, acum o sa invatam notiunea multime, notiunea de element, dar si relatia de apartenenta.

Astfel: O multime este o colectie de obiecte bine determinate si distincte numite elementele multimii.

Multimea se noteaza cu literele mari ale alfabetului, iar elemetele multimii se noteaza cu literele mici ale alfabetului.

Astfel, daca A este o multime si ”x” un element al multimii A, atunci scriem x\in A si vom citi  x apartine multimii A. 

Daca x nu este un element al multimii A, atunci scriem x\notin A  si citim x nu apartine multimii A.

O multime poate fi reprezentata in trei moduri:

– numind fiecare element al multimii, astfel in acest caz  multimea se scrie punand intre acolade elementele multimii.

Ex:  A={1,2,3,4 }   si citim multimea A are elementele 1,2,3,4

-cu ajutorul diagramei Venn-Euler, multimea poate fi reprezentata desenand o curba inchisa si scriind in interiorul ei elementele multimii.

Ex:

Cum pot fi reptrezentate multimile
– enuntand o proprietate caracteristica elementelor multimii (adica o proprietate care are orice element al multimii si nu are niciun alt element care nu apartine multimii).

Exemplu: A={x| x este un numar par si   x<10}

Si astfel putem scrie ca elementele multimii sunt A=\left\{0,2,4,6,8\right\}, ca sa scriem corect elementele multimii trebuie sa tinem cont de ambele conditii ale multimii.

Observatie: Multimea care nu are nici un element se numeste multimea vida si se noteaza \oslash.

Multimea care are ca elemente toate numerele naturale se numeste multimea numerelor naturale si se noteaza N , astfel N=\left\{0,1,2,3,.....\right\}

Multimea care are ca elemente toate numerele naturale mai putin elementul 0 se numeste multimea numerelor naturale fara zero si se noteaza N^{*}=N-\left\{0\right\}=\left\{1,2,3,...\right\}.

Prezentam exercitii astfel incat sa intelegem ce am spus mai sus:

1) Determinati elementele multimilor: A=\left\{x|x\in N, x+3<7\right\}    \\B=\left\{x|x\in N^{*}, 2^{3}-5>x\;\; si \;\; x\leq 3^{3}-2\right\}

Astfel incepem cu multimea A. Ca sa gasim elementele multimii A trebuie sa rezolvam inecuatia x+3<7 deci:  x+3<7\Rightarrow x<7-3\Rightarrow x<4

Deci \in \left\{0,1,2,3\right\}

Si elementele multimii A sunt A=\left\{0,1,2,3\right\}

Acum, ca sa aflam elementele multimii B, rezolvam inecuatiile, dar si tinem cont de faptul ca \in N^{*}, adica ia elementele multimii numerelor naturale mai putin elementul 0.

Ca sa aflam elementele trebuie sa rezolvam si cele doua inecuatii astfel:

-Prima inecuatie: 2^{3}-5>x\Rightarrow 8-5>x\Rightarrow 3>x, deci x\in \left\{0,1,2\right\}

-Rezolvam si cea de-a doua inecuatie: x\leq 3^{3}-2\Rightarrow x\leq 27-2\Rightarrow x\leq 25 si astfel x\in \left\{1,2,3,4,.., 25\right\}

Si acum tinand cont de toate cele trei conditii obtinem: B=\left\{1,2\right\}, deoarece tinem cont ca x sa ia valorile multimii numerelor naturale fara 0, dar si cele doua inecuatii si astfel obtinem multimea B ca mai sus.

Deci e foarte important cand enuntam elementele unei multimi sa tinem cont de toate conditiile care le ofera multimea.

 

Patrulaterul convex si patrulaterul concav

Inainte  sa definim notiunea de paralelogram, definim notiunea de patrulater.

Fiind date patru puncte distincte A, B, C, D, astfel incat:

– oricare trei necoliniare

AB\cap CD=\Phi, BC\cap AD=\Phi numim patrulater de varfurile A, B, C, D figura geometrica formata din reuniunea [AB]\cup[BC]\cup[CD]\cup[DA].

Notatie: ABCD.

Definitie: Un patrulater se numeste convex daca oricare doua puncte aflate in interiorul sau segmentul care le uneste este inclus in interiorul sau.
cum arata un patrulater convex

Definitie: Un patrulater se numeste concav, daca exista doua puncte in interiorul sau astfel incat segmentul care le uneste nu este inclus in interiorul sau.
cum arata un patrulater concav
Proprietatea unghiurilor intr-un patrulater convex.

Intr-un patrulater convex suma masurii unghiurilor este egala cu 360^{0}.

Aplicatii:

1) Patrulaterul convex MNPQ are perimetrul egal cu 120 cm. Triunghiul MNP are perimetrul de 82 cm. Stiind ca diagonala MP=24 cm, aflati perimetrul triunghiului MQP.

Demonstratie:
cum aflam perimetrul unui patrulater convex
Stim ca: P_{MNPQ}=120\Leftrightarrow MN+NP+PQ+QM=120\;\;cm

Mai stim si ca: P_{MNP}=82\Leftrightarrow MN+NP+PM=84\;\;cm

Dar mai stim si ca MP=24 cm, deci gasim cu relatia de mai sus ca: MN+NP+MP=84\Rightarrow MN+NP+24=84\Rightarrow MN+NP=84-24\Rightarrow MN+NP=60\;\; cm

Dar din perimetrul patrulaterului stim ca: MN+NP+PQ+QM=120\Rightarrow 60+PQ+QM=120\Rightarrow PQ+QM=120-60\Rightarrow PQ+QM=60\;\;cm\Rightarrow

Noi trebuie sa aflam perimetrul triunghiului P_{MQP}=MP+PQ+QM

Dar  stim ca PQ+QM=60 cm si din ipoteza stim ca MP=24 cm, astfel avem ca: P_{MQP}=24+60=84\;\; cm

2) In patrulaterul convex ABCD se dau: m\left(\widehat{BAD}\right)=110^{0}, m\left(\widehat{ABC}\right)=110^{0}, m\left(\widehat{ADB}\right)=29^{0},m\left(\widehat{BDC}\right)=56^{0}.

Caculati masurile unghiurilor: \widehat{DBC}, \widehat{ABD},\widehat{ADC},\widehat{C}

Demonstratie:
cum aflam masura unghiurilor intr-un patrulater convex
Observam ca in triunghiul ADB stim doua unghiuri si astfel putem sa-l aflam pe cel de-al treilea. Deoarece suma masurii unghiurilor intr-un triunghi este de 180 grade, astfel avem ca: m\left(\widehat{BAD}\right)+m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}\Rightarrow 110^{0}+29^{0}+m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}\Rightarrow 130^{0}+m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ABD}\right)=180^{0}-139^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ABD}\right)=41^{0}

Acum sa aflam masura unghiului DBC, astfel stim ca: m\left(\widehat{ABC}\right)=110^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{ABD}\right)+m\left(\widehat{DBC}\right)=110^{0}\Rightarrow 41^{0}+m\left(\widehat{DBC}\right)=110^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DBC}\right)=110^{0}-41^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DBC}\right)=69^{0}

Acum ca sa aflam masura unghiului ADC, stim ca: m\left(\widehat{ADC}\right)=m\left(\widehat{ADB}\right)+m\left(\widehat{BDC}\right)=29^{0}+56^{0}=85^{0}

Sa aflam masura unghiului .

Stim conform proprietatii de mai sus enuntate ca Suma masurii unghiurilor intr-un patrulater convex este de 360^{0}

Astfel avem ca: m\left(\widehat{BAD}\right)+m\left(\widehat{ADC}\right)+m\left(\widehat{DCB}\right)+m\left(\widehat{CBA}\right)=360^{0}\Rightarrow 110^{0}+85^{0}+m\left(\widehat{DCB}\right)+110^{0}=360^{0}\Rightarrow m\left(\widehat{DCB}\right)=360^{0}-305^{0}\Rightarrow  m\left(\widehat{DCB}\right)=55^{0}

Scoaterea factorilor de sub radicali

Este foarte important sa stim sa scoatem factorii de sub radicali, deoarece scoaterea factorilor de sub radicali ne usureaza mult din munca, atunci cand rezolvam exercitii.

Ca sa stim sa scoatem factorii de sub radicali trebuie sa invatam urmatoarele reguli:

Daca n\geq 0 si n=a^{2}b, atunci \sqrt{n}=\sqrt{a^{2}b}=|a|\sqrt{b}=a\sqrt{b}, daca a> 0 si -a\sqrt{b}, daca a<0.

Stim si de la lectiile anterioare ca \sqrt{a^{2}}=|a|

Exemplu: 1. Scoateti factorii de sub radicali:

a) \sqrt{50}

b) \sqrt{108}

c) \sqrt{243}

d)\sqrt{3^{2}+3^{2}\sqrt{121}}

Solutie:

a) Ca sa scoatem factorii de sub radicali, mai intai descompunem numarul 50 in produs de factori primi, astfel: 50=2\cdot 5^{2}

Deci \sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 5^{2}}=\sqrt{5^{2}\cdot 2}=5\sqrt{2}

b) \sqrt{108}

La fel ca si mai sus, mai intai scriem numarul ca produs de numere prime:

cum scoatem factorii de sub radicali

Deci 108=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3

Iar \sqrt{108}=\sqrt{2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3}=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}

Ca sa descompunem cat mai usor numerele in produs de factori primi putem sa folosim criteriile de divizibilitate.

c) \sqrt{243}

cum scoatem factorii de sub radicali

Deci avem \sqrt{243}=\sqrt{3^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3}=3\cdot 3\cdot\sqrt{3}=9\sqrt{3}

Observati ca dupa ce am descompus numarul putem sa scoatem direct factorii de sub radical.

d) \sqrt{3^{2}+3^{2}\sqrt{121}}=\sqrt{3^{2}\left(1+\sqrt{121}\right)}=\sqrt{3^{2}\left(1+11\right)}=\sqrt{3^{2}\cdot 12}=3\cdot\sqrt{12}=3\sqrt{2^{2}\cdot 3}=3\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}.

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus, mai intai am dat factor comun pe 3^{2} si apoi am scos factorul de sub radical, deoarece observam ca avem suma si nu putem sa scoatem factorul de sub radical cand avem suma, ci doar cand avem produs.

Mai observam si ca \sqrt{121}=11, deoarece este patrat perfect, apoi am facut suma in paranteza, de unde am obtinut numarul 12.

Adica produsul dintre un numar din care putem sa scoatem factorul si un numar care trebuia descompus, astfel 12=2^{2}\cdot 3, de unde observati ca a mai iesit si 2, factor de sub radical.

e) \sqrt{\frac{588}{686}}

Observati ca in cazul exercitiului de mai sus avem un cat, astfel incepem mai intai prin a scrie fiecare numar ca produs de numere prime, astfel avem:

588=2^{2}\cdot 7^{2}\cdot 3

686=7^{2}\cdot 7\cdot 2

exercitii rezolvate cu scoatera factorilor de sub radicali

 

Dar cu ajutorul regulilor de calcul de la radicali stim ca \sqrt{\frac{588}{686}}=\frac{\sqrt{588}}{\sqrt{686}}=\frac{\sqrt{2^{2}\cdot 7^{2}\cdot 3}}{\sqrt{7^{2}\cdot 7\cdot 2}}=\frac{2\cdot 7\sqrt{3}}{7\sqrt{7\cdot 2}}=\frac{14\sqrt{3}}{7\sqrt{14}}^{(7}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{14}}

Deci cu Scoaterea factorilor de sub radicali putem sa calculam mult mai usor radicalii fara a mai fi nevoie de a calcula radicalul propriu zis, adica sa extragem radicalul.

Este important  sa ne reamintim din clasa a VI-a descompunerea numerelor in produs de factori primi, deoarece observati ca este o conditie esentiala ca sa invatam sa scoatem factorii de sub radicali.

 

Piramida patrulater regulata

 In clasa a V-a am invatat la geometrie figurile geometrice (triunghiuri, patrulatere, paralelograme) si o parte din corpurile geometrice: prisma (prisma triunghiular regulata, prisma patrulater regulata), piramida (piramida triunghiular regulata, piramida patrulater regulata, tetraedru, trunchi de piramida patrulater regulata, trunchi de piramida triunghiular regulata), dar si corpurile rotunde (cilindrul circular drept, conul, sfera). Toate aceste notiuni o sa le invatati in clasa a VIII-a.

Acum o sa discutam despre piramida.

Definitie: O piramida este definita de un poligon plan, numita baza, si un punct exterior acestui plan, numit varful piramidei, unind varful piramidei cu varfurile poligonului.

In functie de natura poligonului de la baza, piramidele sunt de mai multe feluri:

piramide patrulatere

– piramide triunghiulare

– piramide hexagonale.

In continuare o sa vorbim despre piramida patrulatera.

Piramida patrulatera regulata
Elementele unei piramide patrulatere sunt:

-varful piramidei V

-muchiile laterale: [VA], [VB], [VC], [VD]

-muchiile bazei:[AB], [BC], [CD], [DA]

-baza piramidei patrulatere ABCD

– inaltimea VO

– diagonalele bazei AC, BD

-fetele laterale ale piramidei \Delta VAD, \Delta VAB, \Delta VBC, \Delta VDC.

In cazul in care piramida patrulatera este regulata, atunci baza este patrat, iar fetele laterale, (triunghiurile pentru piramida patrulatera) sunt isoscele. Alte elemente ale piramidei mai sunt : apotema piramidei, apotema bazei, iar apotema piramidei impreuna cu apotema bazei si cu inaltimea formeaza un triunghi dreptunghic.

Definitie: Se numeste inaltimea piramidei distanta de la varful piramidei la centrul bazei.

Se numeste apotema piramidei distanta de la varful piramidei la o muchie a bazei.

Se numeste apotema bazei distanta de la centrul piramidei (punctul de intersectie al diagonalelor, in cazul piramidei patrulatere regulate) la muchia bazei.
Elementele componente ale piramidei
Apotema piramidei se noteaza cu (a_{p}), iar apotema bazei se noteaza cu (a_{b}).

Acestea sunt elementele componente ale unei piramide patrulatere regulate, intr-un alt articol o sa vorbim de piramida triunghiular regulata.