Compararea si ordonarea fractiilor zecimale. Reprezentarea pe axa numerelor

Dupa ce am invatat sa aproximam fractiile zecimale la ordinul zecimilor si sutimilor, a venit vremea sa discutam despre compararea si ordonarea fractiilor zecimale, reprezentarea pe axa numerelor a fractiilor zecimale.

Astfel, pentru a compara doua fractii zecimale,  incepem cu un exemplu:

Exemplu : a=3,17    \\b=4,21    \\ a<b

Regula de comparare a fractiilor zecimale

-incepem mai intai cu partile  intregi (adica comparam intregii),  iar daca acestia sunt egali, continuam cu compararea partilor zecimale  de la stanga la dreapta, adica zecimile, sutimile si miimile  celor doua fractii zecimale.

Observam ca la exemplul de mai sus 3<4, adica partea intreaga a primului numar este mai mica decat partea intreaga a celui de-al doilea numar si astfel nu mai comparam partile zecimale.

b) a=24,156    \\b=24,151

Observam ca partile intregi sunt egale. Acum incepem prin a compara partile zecimale. Observam ca zecimile si sutimile celor doua numere sunt egale iar miimile sunt diferite, adica 6>1, deci numarul a mai mare decat numarul b

2) Ordonati crescator numerele

a) \frac{1}{2}; 0,55; \frac{3}{4}; 0,8; 0,59; 0,49

Ca sa comparam numerele de mai sus trebuie sa scriem fractiile ordinare cu numitori puteri ale lui 10 si apoi sa le scriem sub forma de fractii zecimale, astfel incepem cu : ^{5)}\frac{1}{2}=\frac{5\cdot 1}{5\cdot 2}=\frac{5}{10}=0,5

Apoi luam urmatoarea fractie ordinara, adica ^{25)}\frac{3}{4}=\frac{25\cdot 3}{25\cdot 4}=\frac{75}{100}=0,75

Astfel am obtinut sirul de numere: 0,5; 0,55; 0,75; 0,8; 0,59; 0,49

Acum ordonam crescator numerele : 0,49; 0,5; 0,55; 0,59; 0,75; 0,8

b) \frac{7}{4}; 1,69; 1,7; 1,77; 1,707; 1,8; 1,6

Prima data transformam fractia ordinara in fractie zecimala: ^{25)}\frac{7}{4}=\frac{25\cdot 7}{24\cdot 4}=\frac{175}{100}=1,75

Astfel obtinem sirul de numere zecimale:1,75;1,69; 1,7; 1,77; 1,707; 1,8; 1,6

Acum, ca sa le ordonam crescato,r incepem de la cel mai mic la cel mai mare: 1,6; 1,69; 1,7; 1,707; 1,75; 1,77; 1,8

Observati ca prima data trebuie sa comparam partile intregi, iar apoi partile zecimale. Adica incepem cu zecimile, 6 fiind cea mai mica zecime si astfel obtinem si ca 1,6 este cel mai mic numar.

Atentie! Avem numerele 1,7 si 1,707, obsevam ca 1,7 este mai mic decat 1,707 , deoarece la numarul 1,7 la partea zecimala urmeaza doar zerouri, adica 1,70000, pe cand la celalalt numar 1,707, miimea de la primul numar este mai mica decat miimea de la cel de-al doilea numar 0<7.

3) Scrieti trei fractii zecimale situate intre 6 si 6,1.

Solutie !Astfel intre 6 si 6,1, avem uramtoarele fractii zecimale: 6,01; 6,02; 6,03;…;6,09.
Deci am gasit 9 fractii zecimale cuprinse intre 6 si 6,1.

4) Reprezentati pe axa numerele A\left(3,9\right); B\left(3\frac{4}{10}\right); C\left(\frac{36}{10}\right); D\left(3,7\right)

Solutie ! Mai intai transformam fractiile ordinare in fractii zecimale: 3\frac{4}{10}=\frac{3\cdot 10+4}{10}=\frac{34}{10}=3,4  \\\frac{36}{10}=3,6

Astfel obtinem: A\left(3,9\right); B\left(3,4\right); C\left(3,6\right); D\left(3,7\right)

Acum reprezentam fractiile zecimale pe axa numerelor:

Reprezentarea pe axa numerelor a fractiilor zecimale

Exercitii rezolvate cu media aritmetica ponderata

Cateva exercitii care se rezolva cu media aritmetica ponderata.

1. Calculati media ponderata a numerelor :

a) 2 si 3 cu ponderile 2 si 8;

Solutie: m_{a_{p}}=\frac{2\cdot 2+3\cdot 8}{2+8}=\frac{4+24}{10}=\frac{28}{10}=2,8

Ca sa intelegem trebuie sa ne reamintim definitia mediei aritmetice ponderate.

Media aritmetica ponderata a numerelor a_{1}, a_{2},..., a_{n} cu ponderile p_{1}, p_{2},...,p_{2} este egala cu raportul dintre suma dintre produsul  fiecarui numar cu fiecare pondere si suma ponderilor m_{a_{p}}=\frac{a_{1}\cdot p_{1}+a_{2}\cdot p_{2}+...+a_{n}\cdot p_{n}}{p_{1}+p_{2}+...+p_{n}}

 

b) 1/2 si 1/3 cu ponderile 4 si 6;

Solutie: m_{a_{p}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 4^{(2}+\frac{1}{3}\cdot 6^{(3}}{4+6}=\frac{\frac{1}{1}\cdot 2+\frac{1}{1}\cdot 2}{10}=\frac{2+2}{10}=\frac{4}{10}=0,4

Observati ca mai sus am simplificat fiecare fractie cu un numar natural iar apoi am efectuat inmultirile corespunzatoare.

c) 3/20;1/5;1 si 3 cu ponderile 4;2;3 si 5.

Solutie: m_{a_{p}}=\frac{\frac{3}{20}\cdot 4^{(4}+\frac{1}{5}\cdot 2+1\cdot 3+3\cdot 5}{4+2+3+5}=\frac{\frac{3}{5}\cdot 1+\frac{2}{5}+3+15}{14}=\frac{\frac{3}{5}+\frac{2}{5}+18}{14}=\frac{\frac{3+2}{5}+18}{14}=\frac{\frac{5}{5}+18}{14}=\frac{1+18}{14}=\frac{19}{14}

Calculati media ponderata a numerelor:

a) 1,(3) si 3 1/3 ,cu ponderile 3 si respectiv 6;

Solutie: Inainte de a calcula media aritmetica ponderata a numerelor, mai intai transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si astfel avem: 1,(3)=\frac{13-1}{9}=\frac{12}{9}^{(3}=\frac{4}{3}

Dar intoducem si intregii in fractie, adica 3\frac{1}{3}=\frac{3\cdot 3+1}{3}=\frac{10}{3}

Iar acum calculand media aritmetica ponderata m_{a_{p}}=\frac{\frac{4}{3}\cdot 3+\frac{10}{3}\cdot 6}{3+6}=\frac{\frac{12}{3}+\frac{60}{3}}{9}=\frac{\frac{72}{3}^{(3}}{9}=\frac{24}{9}^{(3}=\frac{8}{3}

b) 1/2;1,3(8) si 0,(3) cu ponderile 1,9 si respectiv 6.

Solutie: La fel ma si mai sus mai intai transformam fractiile zecimale periodice in fractii ordinare si astfel avem: 1,3(8)=\frac{138-13}{90}=\frac{125}{90}^{(5}=\frac{25}{18}

Putem sa transformam fractia zecimala de mai sus si astfel 1,3(8)=1\frac{38-3}{90}=1\frac{35}{90}=\frac{1\cdot 90+35}{90}=\frac{90+35}{90}=\frac{125}{90}^{(5}=\frac{25}{18}

Acum transformam urmatoarea fractie zecimala periodica simpla 0,(3)=\frac{3}{9}^{(3}=\frac{1}{3}

Acum ca am transformat fractiile zecimale in fractii ordinare putem calcula media aritmetica ponderata m_{a_{p}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 1+1,3(8)\cdot 9+0,(3)\cdot 6}{1+9+6}=

\frac{\frac{1}{2}+\frac{25}{18}\cdot 9^{(9}+\frac{1}{3}\cdot 6^{(3}}{16}=

\frac{\frac{1}{2}+\frac{25}{2}+\frac{1}{1}\cdot 2}{16}=

\frac{\frac{1+25}{2}+2}{16}=

\frac{\frac{26}{2}+2}{16}=\frac{13+2}{16}=\frac{15}{16}

Dar important e sa ne reamintim si definitia pentru media aritmetica, adica:

Media aritmetica a numerelor a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} este egala cu  suma numerelor impartite la numarul numerelor.

m_{a} se noteaza media aritmetica a numerelor si este egala m_{a}=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}

Ridicarea la putere cu exponent natural a unui numar natural. Reguli de calcul cu puteri

Reguli de calcul cu puteri

Pana acum am invatat cum sa adunam, cum sa scadem, cum sa inmultim si cum sa impartim doua sau mai multe numere naturale. Astazi o sa invatam ridicarea la putere cu exponent natural a unui numar natural, adica reguli de calcul cu puteri.

Incepem printr-un exemplu. Astfel, daca avem sa calculam:  2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32

Asta stim inca din clasele mai mici. Dar acum invatam ca inmultirea lui 2 cu el insusi de mai multe ori putem sa scriem in felul urmator 2^{5}=32

Operatia prin care se obtine puterea unui numar natural se numeste ridicarea la putere.Astfel a^{m}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{m\;\; ori} unde a se numeste baza si m este exponentul.

Foarte important ! Trebuie sa invatati regulile urmatoare ca sa putem rezolva exercitiile de acest gen:

Reguli de calcul cu puteri:

1) a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} (Cand avem aceeasi baza copiem baza si adunam exponentii)

2) a^{m}:a^{n}=a^{m-n} (Cand avem aceeasi baza copiem baza si scadem exponentii cu m\geq n)

3) \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n} (se inmultesc exponentii intre ei)

4) \left(a\cdot b\right)^{m}=a^{m}\cdot b^{n} (cand nu avem aceeasi baza, dar avem acelasi exponent, copiem exponentul si inmultim bazele)

5) \left(a:b\right)^{m}=a^{m}:b^{n} (cand nu avem aceeasi baza, dar avem acelasi exponent, copiem exponentul si impartim bazele)

6) a^{0}=1 (orice numar la puterea 0 este egal cu 1)

7) 1^{n}=1 (1 la orice putere este tot 1)

0^{0} nu are sens

Oricare ar fi numerele naturale a,b,m,n,a\neq 0.

Acum sa rezolvam exercitii de acest gen, ca sa vedem cum ne ajuta regulile de calcul cu puteri:

1) Calculati:
 2^{17}\cdot2^{21}=2^{17+21}=2^{38}

Am folosit prima regula din cele pe care le-am enuntat mai sus, adica am copiat baza celor doua numere, baza fiind 2 si am adunat exponentii 21+17.

Rezultatul a fost 2^{38}, care inseamna 2^{38}=\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot...\cdot 2}_{38\;\;ori}, dar nu trebuie sa calculam tot numarul, tocmai din acest motiv folosim regulile de calcul cu puteri.

b)  3^{108}:\left(3^{15}\right)^{6}=3^{108}:3^{15\cdot 6}=3^{108}:3^{90}=3^{108-90}=3^{18}

La exercitiul de mai sus in partea a doua am folosit formula 3, adica am copiat baza 3 si am inmultit exponentii, adica 15\cdot 6, iar apoi dupa ce am efectuat acest lucru am observat ca avem operatia de impartire si astfel am folosit regula a 2, adica copiem baza 3 si scadem exponentii.

Adica 108-90 si astfel obtinem rezultatul. Rezultatul obtinut, daca este la o putere foarte mare, nu trebuie sa-l calculam.

c)  \left(16\cdot12^{10}-4\cdot 12^{10}\right):12^{11}=\left[12^{10}\left(16-4\right)\right]:12^{11}=12^{10}\left(16-4\right):12^{11}=12^{10}\cdot 12:12^{11}=12^{10+1}:12^{11}=12^{11}:12^{11}=12^{0}=1

La exercitiul c) am dat factor comun pe  12^{10}. Stiti ce inseamna sa dam factor comun, adica observam ce este comun in ambele parti ale exercitiului iar acel lucru il scoatem in fata.

In cazul nostru  12^{10}, iar apoi am copiat ce ne-a ramas, am efectuat calculele din paranteza rotunda ( observam ca am mai introdus o paranteza, adica am transformat-o pe cea rotunda in dreapta, dat fiind faptul ca am dat factor comun), adica diferenta si am obtinut rezultatul 12.

Apoi am folosit prima regula de calcul, adica am copiat baza si am adunat exponentii. Dupa ce am efectuat acest lucru am folosit a doua regula de calcul, adica am copiat baza si am scazut exponentii .

Rezultatul obtinut a fost 12^{0}, iar conform regulii 6 obtinem 1. Trebuie sa tinem cont ca 0^{0}, nu are sens.

Este important  sa invatam aceste reguli de calcul cu puteri pentru numere naturale si sa stim ca 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8 si nu 6, cum majoritatea dintre voi gresit credeti.

d) 2^{3^{4}}=2^{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=2^{81}

Observati ca atunci cand avem puterea unei puteri, ridicam mai intai primul exponent la prima putere (adica in cazul nostru pe 3)

e) \left(2^{3}\right)^{4}=2^{3\cdot 4}=2^{12}

Observati diferenta intre cele doua calcule, in primul caz avem 2^{3^{4}} care este diferit de \left(2^{3}\right)^{4}, in cel de-al doilea caz am folosit regula 3) mai sus enuntata. In primul caz putem spune ca avem regula a^{m^{n}}=a^{\underbrace{m\cdot m\cdot m\cdot ...\cdot m}_{n\;\;ori}}

Teorema celor trei perpendiculare

Teorema celor trei perpediculare joaca un rol important in demonstrarea unor egalitati de segmente, dar mai ales in aflarea lungimilor unor segmente.

Asadar ,Teorema celor trei perpendiculare o sa ne ajute mult in acest an pentru a afla mai usor lungimea unor laturi. Dar pana sa ajungem acolo trebuie sa o intelegem pentru a o aplica.

Incepem prin a da enuntul teoremei

Daca o dreapta este perpendiculara pe un plan si prin piciorul acesteia trece o dreapta continuta in  plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta din plan, atunci orice dreapta care uneste un punct al perpendicularei pe plan cu punctul de  intersectie a celor doua perpendiculare continute in plan, este perpendiculara pe a doua dreapta din plan.

 

cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare

Avem d\perp \alpha

Dar mai stim si ca \\g\perp f

Mai mult \\g,f\subset \alpha

Obtinem ca: \\c\perp f unde \left\{P\right\}=d\cap g

\left\{A\right\}=f\cap g

M\in d si c=AM

Aplicatie la Teorema celor trei perpendiculare:

1. Fie ABCA’B’C’ o prisma triunghiulara regulata avand latura bazei AB= 6 cm si AA'=3\;\; cm.

a) distanta de la A’  latura BC

b) distanta de la punctul C’ la dreapta AD, daca D este mijlocul lui [BC]

Demonstratie:

Teorema celor trei perpendiculare

Observam ca AA^{'}\perp\left(ABC\right)

Dar AD\perp BC AD, BC\subset\left(ABC\right)

Cu Teorema celor trei perpendiculare rezulta ca A^{'}D\perp BC

Deci distanta de la punctul A’ la dreapta BC este A’D, unde D\in BC

Observam ca triunghiul AA’D este dreptunghic in A, deci putem aplica Teorema lui Pitagora, dar mai intai aflam AD.

Stim ca o prisma triunghiular regulata are baza triunghi echilateral si mai stim si ca AD este si mediana si inaltime in triunghiul echilateral ABC, deci obtinem AD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}^{(2}=3\sqrt{3}\;\;\; cm.

Deci, in triunghiul ABC aplicam teorema lui Pitagora A^{'}D^{2}=A^{'}A^{2}+AD^{2}\Rightarrow A^{'}D^{2}=3^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}=9+9\cdot 3=9+27\Rightarrow A^{'}D^{2}=36\Rightarrow A^{'}D=\sqrt{36}=6\;\; cm

Deci am aflat ca distanta de la A’ la BC este lungimea segmentului A’D=6 cm.

b)  Acum sa vedem cum aflam distanta de la C’ la dreapta AD

Aplicatii Teorema celor trei perpendiculare

Stim ca distanta de la un punct la o dreapta este piciorul perpendicularei de la punctul respectiv la dreapta dar si ca distanta de la un punct la o dreapta este cea mai scurta distanta.

 

Stim din ipoteza ca CC'\perp\left(ABC\right)\Rightarrow CC'\perp\left(ADC\right)

Observam ca CD\perp AD, deoarece AD este inaltime in triunghiul echilateral ABC

Dar si ca CD, AD\subset \left(ADC\right)

Iar cu Teorema celor trei perpendiculare avem ca C'D\perp AD

Asadar in triunghiul CC’D aplicam Teorema lui Pitagora.

Dar mai intai aflam CD=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\;\; cm, deoarece D este mijlocul segmentului [BC].

C'D^{2}=CC'^{2}+CD^{2}\Rightarrow C'D^{2}=3^{2}+3^{2}\Rightarrow C'D^{2}=9+9\Rightarrow C'D=\sqrt{18}\Rightarrow C'D=3\sqrt{2}

Asadar este esential sa stim Teorema celor trei perpendiculare dar sa o si aplicam, deoarece ne ajuta in rezolvarea problemelor, in aflarea diferitelor distante dintre un punct si o dreapta, dintre un punct si un plan, dintre doua plane.

Teorema lui Thales

Teorema lui Thales ne ajuta sa aflam lungimea unor segmente intr-un triunghi daca stim ca o dreapta este paralela cu o alta dreapta in triunghi si stim anumite lungimi de segmente.

Teorema. O paralela dusa la una dintre laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente omoloage proportionale.
cum aplicam Teorema lui Thales
Fie triunghiul ABC, cu DE||BC
Atunci \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Atentie!  Aplicam Teorema lui Thales doar daca se verifica ipotezele teoremei, adica trebuie sa avem o paralela intr-un triunghi.
Aplicatii:

Intr-un triunghi dreptunghic ABC, cu m\left(\widehat{A}\right)=90^{0}, m\left(\widehat{C}\right)=30^{0} se iau punctele D\in(AC) si F\in(BC) astfel incat EF||AB si \frac{AE}{AC}=\frac{3}{8}. Daca EF=10 cm, calculati:
a) FC
b) BC
c) AB

Demonstratie :
Teorema lui Thales
Observam ca EF||AB cu Criteriile de paralelism ca BC este secanta si astfel obtinem ca m\left(\widehat{CFE}\right)=m\left(\widehat{CBA}\right)=60^{0} (ca unghiuri corespondente), dar si
m\left(\widehat{CEF}\right)=m\left(\widehat{CAB}\right)=90^{0} (ca unghiuri corespondente)
Astfel obtinem ca triunghiul EFC este dreptunghic in E si putem sa aplicam Teorema 30^{0}-60^{0}-90^{0}, adica
EF=\frac{FC}{2}\Rightarrow 10=\frac{FC}{2}\Rightarrow FC=2\cdot 10=20\;\; cm
Deci obtinem ca FC=20 cm.

Acum ca sa aflam BC, stim din ipoteza ca EF||BC, deci putem sa aplicam Teorema lui Thales, si obtinem
\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow
\frac{3}{8}=\frac{BC-FC}{BC}\Rightarrow
\frac{3}{8}=\frac{BC-20}{BC}\Rightarrow
3\cdot BC=8\cdot\left(BC-20\right)\Rightarrow
3BC=8BC-8\cdot 20\Rightarrow 3BC-8BC=-160\Rightarrow
-5BC=-160\Rightarrow BC=\frac{-160}{-5}=32

Acum ca am aflat BC, in triunghiul ABC dreptunghic in A stim m\left(\widehat{ACB}\right)=30^{0} putem aplica Teorema 30^{0}-60^{0}-{90}, adica
AB=\frac{BC}{2}=\frac{32}{2}=16 cm

Asadar este important in rezolvarea problemelor de geometrie sa folosim toate informatiile care ni le da ipoteza. Observati ca in cazul problemei de mai sus am mai folosit si criteriile de paralelism ce le-am invatat in clasa a VI-a.