Multimi de numere. Forme de scriere a unui numar

Pana acum am invatat mai multe multimi de numere, astfel avem:

Multimea numerelor naturale, notata cu N, unde N=\left\{0,1, 2,...,n,...\right\}

Observatii: N^{*}=\left\{1, 2, 3, 4, ...., n,...\right\}

Unde N^{*} este multimea numerelor naturale fara elementul 0 si N^{*}\subset N.

Multimea numerelor intregi, notata cu Z

Z=\left\{...; -n;...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...; n; ...\right\}

La fel ca si la multimea numerelor naturale avem si in cazul numerelor intregi: Z^{*}=Z-\left\{0\right\}, in plus, mai definim Z_{-}=\left\{...; -n;...;-3; -2; -1\right\} dar si Z_{+}=\left\{1; 2; 3; 4;...; n;...\right\}

Cu n\in N^{*}, avem ca si mai sus Z^{*}\subset Z si in plus N\subset Z

Astfel Z=Z_{-}\cup\left\{0\right\}\cup Z_{+}

Multimea numerelor rationale, notata Q este Q=\left\{\frac{a}{b}|a, b\in Z, b\neq 0\right\}

Astfel avem ca Z\subset Q, daqr si Q^{*}=Q-\left\{0\right\}

Astfel avem incluziunea N\subset Z\subset Q

Multimea numerelor irationale, notata cu R-Q este multimea numerelor care se scriu zecimal cu o infinitate de zecimale, care nu se repeta periodic (de obicei in cazul nostru radicali care nu sunt patrate perfecte.

Exemplu :\sqrt{2}, \sqrt{3}).

Multimea numerelor reale, notata cu R este multimea formata din multimea numerelor rationale cu multimea numerelor irationale, la fel ca si mai sus R^{*}=R-\left\{0\right\}

Astfel avem sirul N\subset Z\subset Q\subset R

Aplicatii:
1) Aratati ca \sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}\in Q

Deci trebuie sa aratam ca radicalul de mai sus este un numar rational, astfel avem:

\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{13-4\sqrt{3}}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{13-2\cdot 2\sqrt{3}}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{\left(1+2\sqrt{3}\right)^{2}}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-\left(1+2\sqrt{3}\right)}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{5-1-2\sqrt{3}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}}=\sqrt{2-\sqrt{3}+|1-\sqrt{3}|}=\sqrt{2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}=\sqrt{2-0-1}=\sqrt{1}=1\in Q

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, observati ca am folosit urmatoarea regula: \sqrt{a^{2}}=|a|.

Adica pe fiecare  radical am incercat sa-l restrangem cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat.

2) Determinati valoarea de adevar a propozitiilor:

a) \sqrt{x}\in R

b) \sqrt{x}\in Z

c) \sqrt{x}\in R-Q

d) \sqrt{x\in N}

Unde x=\sqrt{243^{2}-\left(240^{2}+3\cdot 240\right)}

Solutie:

Mai intai calculam x, adica il aducem la o forma mai simpla. Astfel avem x=\sqrt{243^{2}-\left[240\left(240^+3\right)\right]}=\sqrt{243^{2}-240\cdot 243}=\sqrt{243\left(243-240\right)}=\sqrt{243\cdot 3}=\sqrt{729}=27

Astfel stim ca x=27, dar noi avem sa calculam \sqrt{x}=\sqrt{27}=\sqrt{3^{2}\cdot 3}=3\sqrt{3}

Asadar :

a) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\in R este adevarata.

b) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\notin Q, deci afirmatia este falsa.

c) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\in R-Q, deci afirmatia este adevarata.

d) \sqrt{x}=3\sqrt{3}\notin Z, deci afirmatia este falsa. Numarul nu este intreg.

Reciproca teoremei lui Thales

Dupa ce am discutat despre Teorema lui Thales, astazi o sa discutam despre Reciproca teoremei lui Thales.

Ne reamintim Teorema lui Thales ca sa intelegem si sa retinem mai usor  reciproca lui Thales:

Teorema. O paralela dusa la una dintre laturile unui triunghi determina pe cele doua laturi sau pe prelungirile acestora segmente proportionale.

Reciproca lui Thales

Teorema : Daca o dreapta determina pe laturile unui triunghi segmente proportionale cu aceste laturi, atunci ea este paralela cu cea de a treia latura a triunghiului.

Cum aplicam reciproca lui Thales
\Delta ABC
M\in AB, N\in AC
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow MN||BC.
Aplicatie

1) Fie ABC un triunghi oarecare E\in \left(AB\right), F\in\left(AC\right). Aratati ca EF||BC.

AE=12; EB=18;AF=10;FC=15;

Solutie:

problema rezolvata reciproca lui Thales

Aplicam reciproca lui Thales, astfel obtinem: \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}\Rightarrow\frac{12}{18}=\frac{10}{15}\Rightarrow\frac{2}{3}=\frac{2}{3} deci segmentele sunt proportionale si astfel EF||BC.

2) In trapezul ABCD cu AB||CD si AC\cap CD=\left\{O\right\}, se iau punctele M\in\left(AO\right) si N\in\left(BO\right) astfel incat \frac{AM}{MO}=\frac{2}{3} si \frac{BN}{BO}=\frac{2}{5}. Aratati ca MN||DC.

Cum aplicam reciproca lui Thales

In triunghiul AOB stim ca \frac{AM}{MO}=\frac{2}{3}\Rightarrow AM=MO\cdot\frac{2}{3}

Stim ca …. continuarea in curs ….

Acest articol este o mica portiune dintr-un curs de pregatire online. Incepe acum  cursul pentru a avea acces la lectii explicate pe larg, teste online si probleme rezolvate.

Criterii de divizibilitate

Probabil ca stiti din clasa a V-a despre criterii de divizibilitate. Din acest motiv nu o sa mai insistam sa le scriem aici. Daca doriti sa le aflati le veti gasi pe toate, precum si alte exercitii rezolvate si explicate, intr-un curs de pregatire. 

Exemple:

1) Fie multimile A=\left\{x|x\in N, x\vdots 10, x<100\right\}
Si B=\left\{x|x\in N, x\leq 50, x\vdots 10\right\}

Pentru a rezolva exercitiul trebuie sa stim criteriul de divizibilitate cu 10, adica un numar este divizibil cu 10 daca ultima sa cifra este 0.

Multimea A=\left\{10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90\right\}, iar multimea B=\left\{10; 20; 30; 40; 50 \right\}, aici avem si 50 pentru ca e mai mic sau egal decat 50.

A\cup B=\left\{10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90 \right\}
A\cap B=\left\{10; 20; 30; 40; 50 \right\}
A-B=\left\{60; 70; 80; 90 \right\}

B-A=\oslash, despre reuniune, intersectie si diferenta am mai vorbit in alte lectii si articole.

2) Demonstrati ca daca a\vdots 2 si a\vdots 3, atunci a\vdots 6.

Solutie: Din definitia divizibilitatii pe care am invatat-o in lectia anterioara gasim ca daca \\a\vdots 2, \Rightarrow \exists c\in N,\;\; a.i\\ a=2\cdot c, c\in N, iar daca a\vdots 3 \Rightarrow \exists t\in N\;\ a.i\;\ a=3\cdot t.

Cum a=a, rezulta 2c=3t\Rightarrow c=\frac{3t}{2} si c\in N. Atunci \frac{t}{2}=x si x\in N, rezulta t=2x, x\in N. Din a=3t \Rightarrow a=6t, t\in N, deci a\vdots 6.

3) Scrieti numerele naturale de forma:

a) \bar{32x}

b) \bar{x6x}

c) \bar{xxx} divizibile cu 3.
Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa stim criteriul de divizibilitate cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 3. Un numar este divizibil cu 3 daca suma cifrelor este divizibila cu 3. Astfel pentru ….continuarea in curs.……

Acest articol este doar o mica parte din acest curs de pregatire. Mai multe exemple, lectii complete si teste online gasesti daca te inscrii in curs.

Rationalizarea numitorului unei fractii

Dupa ce am invatat sa scoatem factorii de sub radicali sau sa introducem factorii sub radicali, acum o sa invatam Rationalizarea numitorului unei fractii .

Operatia de rationalizare a numitorilor unei fractii exprimata printr-un numar irational de forma a\sqrt{b} sau a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d}, a, c\in Q^{*} si b, d\in Q_{+}^{*}  este operatia in urma careia, prin amplificarea fractiei cu un factor, numitorul obtinut se transforma intr-un numar irational.

Deosebim urmatoarele cazuri:

  •  Rationalizarea numitorilor de forma: a\sqrt{b}, a\in Q, b\in Q_{+}^{*} intr-un astfel de caz procedam astfel \frac{c}{a\sqrt{b}}=\frac{c\cdot \sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}\right)^{2}}=\frac{c\sqrt{b}}{a\cdot b}, a\in Q, b\in Q_{+}^{*}

Exmplu: \frac{15}{\sqrt{5}}=\frac{15\cdot\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=\frac{15\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{5}}{1}=3\sqrt{5}

Dupa ce am rationalizat numitorul am simplificat fractia prin 5 si astfel am obtinut rezultatul.

  • Rationalizarea numitorilor de forma a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d}, a, c\in Q^{*}, b, d\in Q_{+}^{*}

In acest caz folosim formula \left(a+b\right)\cdot\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}, ca sa rationalizam numitorii de forma a\sqrt{b}\pm c\sqrt{d}, a, c\in Q^{*}, b, d\in Q_{+}^{*} se face prin amplificarea fractiei cu $latex a\sqrt{b} \mp c\sqrt{d}$, iar dupa amplificare numitorul devine un numar rational.

Exemplu:

1) Calculati:

a) \left(\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\right):\left(\sqrt{3}-1\right) =\left(\frac{1\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+ \frac{1\left(\sqrt{5}-\sqrt{4}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{4}\right)^{2}}+ \frac{1\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{4}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+ \frac{1\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right):\left(\sqrt{3}-1\right)= \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}\right):\left(\sqrt{3}-1\right) =\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}\right):\left(\sqrt{3}-1\right)= \left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right):\left(\sqrt{3}-1\right)= \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)}= \sqrt{2}.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus prima data am rationalizat numitorii asa cum am invatat mai sus, iar apoi am efectuat calculele. Am dat  factor comun ca sa putem simplifica si astfel am obtinut rezultatul.

b) \left(\frac{6}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{3}{2\sqrt{3}+3}\right):\left(\sqrt{2}-1\right)=

\left(\frac{6\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{\left(3\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{3\left(2\sqrt{3}-3\right)}{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-3^{2}}\right):\left(\sqrt{2}-1\right)=

\left(\frac{18\sqrt{2}-12\sqrt{3}}{9\cdot 2-4\cdot 3}+\frac{6\sqrt{3}-9}{4\cdot 3-9}\right):\left(\sqrt{2}-1\right)=\left(\frac{18\sqrt{2}-12\sqrt{3}}{18-12}+\frac{6\sqrt{3}-9}{12-9}\right):\left(\sqrt{2}-1\right)=

\left(\frac{6\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}{6}+\frac{3\left(2\sqrt{3}-3\right)}{3}\right):\left(\sqrt{2}-1\right)= \left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\right):\left(\sqrt{2}-1\right)= \left(3\sqrt{2}-3\right):\left(\sqrt{2}-1\right)=\frac{3\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{2}-1}=3

La fel ca si la exercitiul de mai sus, prima data am rationalizat numitorii, apoi am dat factor comun pentru a putea simplifica numaratorul cu numitorul, apoi am efectuat calculele.

Apoi am dat iar factor comun pentru a simplifica rezultatul pe care l-am gasit in paranteza cu restul si astfel am gasit rezultatul 3.

c) \left(\frac{5}{\sqrt{18}}+\frac{3}{4\sqrt{2}}-\frac{7}{\sqrt{72}}\right):\frac{15}{8\sqrt{2}}=  \left(\frac{5\sqrt{18}}{18}+\frac{3\sqrt{2}}{4\cdot 2}-\frac{7\sqrt{72}}{72}\right):\frac{15\sqrt{2}}{8\cdot 2}=  \left(\frac{5\cdot 3\sqrt{2}}{18}+\frac{3\sqrt{2}}{8}-\frac{7\cdot 6\sqrt{2}}{72}\right):\frac{15\sqrt{2}}{16}=  \left(\frac{5\sqrt{2}}{6}+\frac{3\sqrt{2}}{8}-\frac{7\sqrt{2}}{12}\right)\cdot\frac{16}{15\sqrt{2}}=  \left(\frac{4\cdot 5\sqrt{2}+3\cdot 3\sqrt{2}-2\cdot 7\sqrt{2}}{24}\right)\cdot \frac{16}{15\sqrt{2}}=  \left(\frac{20\sqrt{2}+9\sqrt{2}-14\sqrt{2}}{24}\right)\cdot\frac{16}{15\sqrt{2}}=  \frac{15\sqrt{2}}{24}\cdot\frac{16}{15\sqrt{2}}=\frac{1}{2}

Foarte important! La rationalizarea numitorilor trebuie sa intelegem regulile de rationalizare, dar si scoaterea factorilor de sub radicali cat si introducerea factorilor sub radicali.

Recapitulare clasa a VII-a. Regulile semnelor pentru Numere Intregi

Este foarte important, din clasa a VI-a la algebra, sa ne reamintim regulile semnelor pentru numere intregi deoarece in clasa a VII-a o sa le folosim mai tot timpul.

Astfel o sa incepem prin a rezolva cateva exercitii mai simple si apoi cateva  mai complexe.

1. Calculati:

a) (-21+13)\cdot[(-56):(-5+12)+(-72):(-8)]=
(-8)\cdot[(-56):(+7)+(+9)]=
(-8)\cdot[(-8)+(+9)]=
(-8)\cdot(+1)=-8

Pentru inceput, in prima paranteza a exercitiului, asa cum am invatat inca din clasa a VI-a, dam semnul numarului celui mai mare si scadem.

Apoi copiem semnul de inmultire si ne ocupam de paranteza dreapta.

Astfel, asa cum am invatat  din clasele primare, rezolvam mai intai paranteza rotunda, inmultirile si impartirile, adica (-5+12), care la fel ca si la prima parte a exercitiului dam semnul celui mai mare si scadem pe cel mic din cel mare (semnul celui mai mare este + si daca scadem pe cel mic din cel mare obtinem 12-5=7).

Apoi impartirea (-72):(-8). Asa cum am invatat negativ pe negativ tot timpul obtinem pozitiv (-72):(-8)=+9. Restul exercitiului se face asemanator.

b)
-6^{2}:(2^{2}\cdot 3)-(-54+2^{3}\cdot 7)^{2}=
-36:(4\cdot 3)-(-54+8\cdot 7)^{2}=
-36:12-(-54+56)^{2}=
-3-(+2)^{2}=
-3-4=-7.

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus mai intai ridicam numarul 6 la puterea a doua, dupa cum stim din clasa a V-a 6^{2}=6\cdot 6=36

Diferenta acum este ca apare si semnul din fata lui 6, astfel semnul il copiem asa cum este si ridicam numarul la puterea a doua impartind.

Mai departe rezolvam paranteza rotunda adica calculam  2^{2}=2\cdot 2= 4 asa cum am calculat mai sus  6^{2} (daca in schimb avem de exemplu  (-2)^{2}=(-2)\cdot (-2)=+4, (-)\cdot (-)=+ ,orice numar negativ sau pozitiv ridicat la un numar par obtinem tot un numar pozitiv daca in schimb avem  (-2)^{3}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=4\cdot (-2)=-8 , orice numar negativ ridicat la un numar impar obtinem tot un numar negativ).

Dupa ce am terminat cu prima paranteza trecem la urmatoarea, copiem semnul – din fata parantezei si apoi rezolvam ridicarea la putere din paranteza  2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8 .

Rezolvand in continuare, copiem prima parte a exercitiului si efectuam inmultirea din prima paranteza adica  4 \cdot 3=12 copiem semnul – si rezolvam inmultirea din paranteza a II- a  7 \cdot 8=56 .

Efectuand impartirea  -36:12=-3, adica negativ pe pozitiv obtinem negativ, copiem semnul, ajungem la paranteza a II-a si efectuam -54+56=2

Am discutat mai sus cum se efectueaza aceasta parte a exercitiului.

Ultima parte a exercitiului  -3-4=-7 se obtine astfel: dam semnul comun celor doua numere adica – si numerele le adunam.

Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Inca din gimnaziu am invatat sa calculam triunghiul dreptunghic.

Am invatat rezolvarea triunghiului dreptunghic cu Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii si Teorema catetei, dar si cu ajutorul notiunilor trigometrice, adica functiile trigonometrice (sinus, cosinus, tangenta si cotangenta).

Problema:

1) Fie triunghiul ABC, in care se cunosc AB=AC=26 cm si BC=20 cm.

Calculati \sin B, \cos B\tan B.

Demonstratie:
Cum si cand aplicam functiile trigonometrice
Stim ca triunghiul ABC este isoscel dar mai stim si ca functiile trigonometrice le putem aplica in triunghiul dreptunghic. Astfel ducem inaltimea AD, deci avem AD\perp BC.

Acum, ca sa putem afla sin trebuie sa stim AD, astfel in triunghiul ADB aplicam teorema lui Pitagora AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=26^{2}-10^{2}\Rightarrow AD^{2}=676-100\Rightarrow AD=\sqrt{576}\Rightarrow AD= 24 cm.

Astfel acum aplicam: \sin B=\frac{cat.opusa}{ipotenuza}=\frac{AD}{AB}=\frac{24}{26}^{(2}=\frac{12}{13}
\cos B=\frac{cat.alaturata}{ipotenuza}=\frac{BD}{AB}=\frac{10}{26}^{(2}=\frac{5}{13}.

Deoarece conform proprietatii de la triunghiul isoscel, mediana, mediatoarea, bisecoarea si inaltimea corespunzatoare bazei coincid, AD este si mediana, de unde gasim ca BD=DC=10 cm.

\tan B=\frac{cat.opusa}{cat. alaturata}=\frac{AD}{BD}=\frac{24}{10}^{(2}=\frac{12}{5}.

2) Fie triunghiul ABC in care AB=6 cm si AC=12 cm. Calculati lungimea laturii BC, daca m\left(\prec A\right)=30^{0}.
Cum rezolvam triunghiul oaarecare
Observam ca triunghiul ABC este oarecare, stim unghiul A, care este de 30 de grade, astfel construim perpendiculara BD, adica inaltimea si obtinem astfel triunghiul dreptunghic ADB, unde unghiul D este de 90^{0} si astfel gasim ca unghiul ABD este de 60^{0}.

Astfel ca sa aflam BD aplicam \sin A=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \sin 30^{0}=\frac{BD}{6}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{BD}{6}\Rightarrow BD=3 cm.

Astfel, dupa ce am aflat BD, putem sa aflam si DA, daca aplicam
\cos B=\frac{cat.alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow

\cos 30^{0}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow

\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{6}\Rightarrow

AD=\frac{6\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AD=3\sqrt{3} cm.

Cum stim AD putem afla DC, astfel DC=AC-AD\Rightarrow DC=12-3\sqrt{3};

Acum, stim ca triunghiul ADC este dreptunghic in D si astfel putem aplica teorema lui Pitagora :

BC^{2}=AD^{2}+DC^{2}\Rightarrow BC^{2}=3^{2}+\left(12-3\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow BC^{2}=9+144-2\cdot 12\cdot 3\sqrt{3}+27\Rightarrow BC^{2}=153-72\sqrt{3}+27\Rightarrow BC=\sqrt{180-72\sqrt{3}}\Rightarrow BC=\sqrt{36\left(5-2\sqrt{3}\right)}\Rightarrow BC=6\sqrt{5-2\sqrt{3}}.

Problema rezolvata folosind proprietatile trapezului

Prezentam un articol in care rezolvam o problema folosind proprietatile trapezului, dar si ale triunghiului isoscel.

Fie O intersectia diagonalelor trapezului ABCD. Daca OD congruent cu OC, demonstrati ca:

a) AOB triunghi isoscel

b) trapezul ABCD este isoscel

c) mijloacele bazelor si punctul O sunt coliniare

Demonstratie:

 

cum aratam ca un triunghi este isoscel

Observam din ipoteza problemei ca [OC]\equiv[OD], deci obtinem ca triunghiul \Delta ODC este isoscel  de baza DC, deci obtinem si ca \widehat{BDC}\equiv\widehat{ACD}

Dar stim de la definita trapezului ca AB||DC si folosind unghiul determinat de o dreapta cu o secanta, obtinem ca: \widehat{ABD}\equiv\widehat{BDC} (ca unghiuri alterne interne)

Dar si \widehat{BAC}\equiv\widehat{ACD}

Dar de mai sus stim ca: \widehat{BDC}\equiv\widehat{ACD} deci obtinem si ca \widehat{ABD}\equiv\widehat{BAC} deci cu proprietatile triunghiului isoscel \Delta AOB isoscel de baza AB.

cum aratam ca un trapez este isoscel

a) Stim ca triunghiul AOB este isoscel, deci stim ca [AO]\equiv[BO]

Dar din ipoteza stim si ca triunghiul DOC este isoscel, adica [DO]\equiv[CO]

Dar observam ca \widehat{AOD}\equiv\widehat{BOC}(ca unghiuri opuse la varf)

Deci obtinem ca \Delta ADO\equiv\Delta BCO, de unde obtinem si ca [AD]\equiv[BC], adica laturile neparalele sunt congruente.

Si cu proprietatea de la trapezul isoscel obtinem ca :

-Daca intr-un trapez laturile neparalele sunt congruente, atunci trapezul este isoscel.

Stim ca [AD]\equiv[BC]\Rightarrow ABCD trapez isoscel

b) Fie M mijlocul segmentului AB, deci avem ca [AM]\equiv[MB]

Si N mijlocul segmentului DC si obtinem ca [DN]\equiv[NC]

Observam ca OM este mediana in triunghiul AOB, deci si inaltime si obtinem ca m\left(\widehat{AMO}\right)=90^{0}

Dar si ca triunghiul DOC isoscel so ON mediana, deci in inaltime si astfel obtinem ca  m\left(\widehat{DNO}\right)=90^{0}

Observam ca OM si ON perechi de semidrepte opuse deci m\left(\widehat{MON}\right)=180^{0}

De unde rezulta ca punctele M, O, N sunt coliniare.

c) Puneti-va si voi mintea la contributie si rezolvati. Este foarte usor punctul acesta. 🙂

Problema rezolvata. Unghiul diedru. Distanta de la un punct la un plan

Unghiul diedru Distanta de la un punct la un plan

Problema rezolvata unghiul diedru

Pe planul triunghiului ABC cu AB=13, AC=20 cm si BC=21 cm se ridica perpendiculara AM AM=4\sqrt{3} cm. Aflati:

a) distanta de la M la dreapta BC

b) distanta de la punctul M la planul \left(MBC\right)

c) masura unghiului diedru format de planele \left(MBC\right) si \left(ABC\right)

Demonstratie:

distanta de la un punct la un plan

Observam ca triunghiul ABC este oarecare si astfel construim perpendiculara AN, astfel avem AN\perp BC

Acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiurile ANB si ANC, pentru a afla AN

In triunghiul ANB obtinem: AN^{2}=AB^{2}-BN^{2}\Rightarrow AN^{2}=13^{2}-BN^{2}\Rightarrow AN^{2}=169-BN^{2}(*)

Acum aplicam in triunghiul ANC teorema lui Pitagora si obtinem: AN^{2}=AC^{2}-CN^{2}\Rightarrow AN^{2}=20^{2}-CN^{2}\Rightarrow AN^{2}=400-CN^{2}(**)

Egaland cele doua relatii obtinem: 169-BN^{2}=400-CN^{2}\Rightarrow 169-BN^{2}=400-\left(21-BN\right)^{2}\Rightarrow 169-BN^{2}=400-\left(441-2\cdot 21\cdot BN+BN^{2}\right)\Rightarrow 169-BN^{2}=400-441+42BN-BN^{2}\Rightarrow 169-BN^{2}=-41+42BN-BN^{2}\Rightarrow -BN^{2}-42BN+BN^{2}=-41-169\Rightarrow -42BN=-210\rightarrow BN=210:42\Rightarrow BN=5

Ca sa aflam BN  stim ca BC=BN+NC\Rightarrow NC=BC-BN\Rightarrow NC=21-BN

Dupa ce am aflat BN putem din (*) swa aflam AN
AN^{2}=169-25\Rightarrow AN=\sqrt{144}\Rightarrow AN=12 cm

Revenind la problema, stim ca : AM\perp\left(ABC\right)

Construim AN\perp BC  \\ AN, BC\subset\left(ABC\right)\Rightarrow MN\perp BC

Cu teorema celor trei perpendiculare am gasit d\left(M,BC\right)=MN

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic MAN
MN^{2}=MA^{2}+AN^{2}\Rightarrow MN^{2}=\left(4\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow MN^{2}=48+144\Rightarrow MN=\sqrt{192}\Rightarrow MN=8\sqrt{3}

PROBLEMA-REZOLVATA-UNGHIUL-DIEDRU1

b) d\left(A,\left(MBC\right)\right)=AP

Fie AP\perp MN  \\ MN\subset\left(MBC\right)\Rightarrow AP\perp\left(MBC\right)

Stim ca daca o dreapta este perpendiculara pe o alta dreapta dintr-un plan, atunci dreapta este perpendiculara pe plan.

Stim ca triunghiul MAN dreptunghic in A, deci aplicam Teorema inaltimii:
AP=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}=\frac{AM\cdot AN}{MN}=\frac{4\sqrt{3}\cdot 12}{8\sqrt{3}}=\frac{48\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}^{(8\sqrt{3}}=6 cm.
distanta de la un punct la un plan

c) m\left(\widehat{\left(MBC\right),\left(ABC\right)}\right)

Observam BC muchia comuna. Astfel avem AN\perp BC  \\AN, BC\subset\left(ABC\right)

Dar si ca MN\perp BC  \\MN, BC\subset\left(MBC\right) (din punctul a))

Astfel obtinem m\left(\widehat{\left(MBC\right),\left(ABC\right)}\right)=m\left(\widehat{AN,MN}\right)=m\left(\widehat{ANM}\right)=30^{0}

Cum triunghiul MAN e dreptunghic aplicam functiile trigonometrice
\sin \widehat{ANM}=\frac{cat.opusa}{ipotenuza}=\frac{AM}{MN}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}^{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=30^{0}
Cum aflam unghiul diedru a doua plane?

Atentieputem aplica functiile trigonometrice doar daca avem triunghi dreptunghic.

Amplificarea si simplificarea fractiilor. Sir de fractii egale. Numar rational pozitiv

Dupa ce am definit notiunea de fractie in cursul FRACTII ORDINARE, acum a venit timpul sa discutam despre Amplificarea si simplificarea fractiilor cat si sa definim notiunea de numar rational pozitiv.

Amplificarea si simplificarea fractiilor

Incepem cu amplificarea fractiilor

A amplifica o fractie \frac{a}{b} cu un numar natural nenul n inseamna a inmulti atat numitorul cat si numaratorul fractiei cu  acelasi numar n.

Prin amplificare se obtine o fractie egala cu cea data.

Notam: ^{n)}\frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n}

Simplificarea fractiilor

A simplifica o fractie \frac{a}{b} cu un numar natural nenul n inseamna a imparti atat numitorul cat si numaratorul fractiei cu acelasi numar n.

Notam: \frac{a}{b}^{(n}=\frac{a:n}{b:n}

Definitie: Un sir de fractii egale reprezinta acelasi numar deoarece reprezentarile lor sunt echivalente. Acest numar se numeste numar rational.

Numerele rationale se reprezinta prin fractii. Oricare doua fractii egale reprezinta acelasi numar rational.

Exercitii:

1) Aflati cu ce numere trebuie amplificate fiecare din urmatoarele fractii astfel incat sa obtinem de fiecare data fractii cu numitorul 48: \frac{1}{2}; \frac{5}{3}; \frac{7}{6}; \frac{19}{12}; \frac{11}{16}; \frac{17}{24}

Incepem cu prima fractie

^{24)}\frac{1}{2}=\frac{24\cdot 1}{24\cdot 2}=\frac{24}{48}

Observam ca daca amplificam fractia cu 24 obtinem o fractie cu numitorul 48. Trebuie sa fim atenti la numitorul fiecarei fractii, ca sa gasim mai repede numarul cu care amplificam. Daca impartim 48 la numitorul fractiei 2 obtinem 24, deci cu 24 amplificam cu 24.

^{8)}\frac{7}{6}=\frac{8\cdot 7}{8\cdot 6}=\frac{56}{48}

Observam ca daca impartim pe 48 la numitorul 6 obtinem catul 8, adica numarul cu care trebuie sa amplificam fractia

^{4)}\frac{19}{12}=\frac{4\cdot 19}{4\cdot 12}=\frac{76}{48}, deci am amplificat fractia cu 4 prin aceeasi metoda.

^{3)}\frac{11}{16}=\frac{3\cdot 11}{3\cdot 16}=\frac{33}{48}, am amplificat fractia cu numarul natural 3.

^{2)}\frac{17}{24}=\frac{2\cdot 17}{2\cdot 24}=\frac{ 34}{48}, am amplificat fractia cu 2.

Observatie: O fractie se numeste ireductibila  daca nu se mai poate simplifica.

2) Simplificati fractiile, obtinand fractii ireeductibile: \frac{20}{30}^{(10}=\frac{20:10}{30:10}=\frac{2}{3}.

Ca sa ne dam seama prin ce numar se simplifica fractiile folosim criteriile de divizibilitate. Astfel, in acest caz am folosit criteriul de divizibilitate cu 10.

\frac{250}{350}^{(10}=\frac{250:10}{350:10}=\frac{25}{35}^{(5}=\frac{25:5}{35:5}=\frac{5}{7}.

Am simplificat fractia atat prin 10, dar si prin 5, deci am folosit atat criteriul de divizibilitate cu 10 dar si criteriul de divizibilitate cu 5.

\frac{1716}{4290}^{(2}=\frac{1716:2}{4290:2}=\frac{858}{2145}^{(3}=\frac{858:3}{2145:3}=\frac{286}{715}^{(11}=\frac{286:11}{715:11}=\frac{26}{65}^{(13}=\frac{26:13}{65:13}=\frac{2}{5}

Observam ca la acest exercitiu am folosit criteriul de divizibilitate cu 2, 3, 11 si 13.

Important ! La simplificare trebuie se imparta atat numaratorul cat si numitorul cu acelasi numar.